Sphaerica
Theodosius of Bithynia
Theodosius. Theodosii Tripolitae. Sphaericorum Libros Tres. Nizze, Ernst, editor. Berlin: G. Reimer, 1852.
Τῆς δοθείσης σφαίρας τὸ κέντρον εὑρεῖν.
Ἔστω δοθεῖσα σφαῖρα, δεῖ δὲ τὸ αὐτῆς κέντρον εὑρεῖν.
Τετμήσθω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα ἐπιπέδῳ τινὶ, ποιήσει δὲ τομὴν κύκλον. Ποιείτω τὸν ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Δ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΔΕ, καὶ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Ε, Ζ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΖ δίχα κατὰ τὸ Η σημείον· λέγω, ὅτι τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας.
Μὴ γὰρ, ἀλλ’, εἰ δυνατὸν, ἔστω τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Κ σημεῖον· τὸ ἄρα Κ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· ἀλλὰ καὶ τὸ Δ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλο πλὴν τὸ Η. Τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας.
Πόρισμα. Ἐκ δὴ a τούτου φανερὸν, ὅτι ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τῷ ἐπιπέδῳ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα ἀνασταθῇ, ἐπὶ τῆς ἀνασταθείσης τὸ κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας.
Σφαῖρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος οὐχ b ἅπτεται κατὰ πλείονα σημεῖα, ἢ ἕν.
Εἰ γὰρ δυνατὸν, σφαῖρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος ἁπτέσθω κατὰ πλείονα σημεῖα τὰ Α, Β. καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΑΓ, ΒΓ ἐπίπεδον· τομὴν δὴ ποιήσει ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κύκλου περιφέρειαν, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. Ποιείτω οὖν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΔΑΒ κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν τὴν ΕΑΒΖ.
Καὶ ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον οὐ τέμνει τὴν σφαῖραν, ἔστι δὲ ἐν μὲν
τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὁ κύκλος, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ ἡ εὐθεῖα, οὐδὲ τὸν ΔΑΒ κύκλον ἄρα τέμνει ἡ ΕΑΒΖ εὐθεῖα. Ἐπεὶ οὖν κυκλου τοῦ ΔΑΒ ἐπὶ τῆς περιφερείας εἴληπται δύο σημεῖα τυχόντα τὰ Α, Β, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου ΔΑΒ, ἀλλὰ καὶ ἐκτός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Σφαῖρα ἄρα ἐπιπέδου μὴ τέμνοντος οὐχ ἅψεται κατὰ πλείονα σημεῖα, ἢ ἕν.