Sphaerica

α′. Σφαῖρά ἐστι σχῆμα στερε ὸν ὑπὸ μιᾶς ἐπιφανείας περιεχόμενον, πρὸς ἣν, ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων, πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

β′. Κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ τοιοῦτο σημεῖόν ἐστιν.

γ′. Ἄξων δὲ τῆς σφαίρας ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη, καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, περὶ ἣν μένουσαν εὐθεῖαν ἡ σφαῖρα στρέφεται.

δ′. Πόλοι δὲ τῆς σφαίρας εἰσὶ τὰ πέρατα τοῦ ἄξονος (α), δηλα δὴ τῆς διαμέτρου.

ε′. Κύκλου πόλος ἐν σφαίρᾳ ἐστὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἀφ’ οὗ πᾶσαι προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

Ϛ′. Ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδ ον ὁμοίως κεκλίσθαι λέγεται, καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον, ὅταν τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων αἱ πρὸς ὀρθὰς ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων πρὸς τοῖς αὐτοῖς σημείοις ἴσας γωνίας περιέχωσιν.

Ἐὰν σφαιρικὴ ἐπιφάνεια ἐπιπέδῳ τινὶ τμηθῇ, ἡ γενομένη ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν.

Σφαιρικὴ γὰρ ἐπιφάνεια ἐπιπέδῳ τινὶ τετμήσθω, ποιείσθω δὲ καὶ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὴν ΑΒΓ γραμμήν· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν.

Εἰ μὲν οὖν τὸ τέμνον ἐπίπεδον διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας· φανερὸν, ὅτι ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν· αἱ γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί καί ἐστιν ἡ ΑΒΓ γραμμὴ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὥστε αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. καὶ ὑπόκειται τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον διὰ κέντρου τῆς σφαίρας ὄν· ὥτε ἡ ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν, ἧς κέντρον τὸ αὐτὸ, ὃ καὶ τῆς σφαίρας.

Πόρισμα α′. Καὶ ἐκ τούτου φανερὸν, ὅτι τοῦ διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὄντος κύκλου τὸ αὐτὸ κέντρον ἐστὶ καὶ τῆς σφαῖρας (α).

Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω τὸ τέμνον ἐπίπεδον διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, τὸ δὲ κέντρον τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Δ σημεῖον· καὶ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΔΕ, καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπό του Ε σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσα τὰ ἀπὸ ΑΕ, ΕΔ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΕ, ΕΔ, ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ Ε γωνιῶν· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΔ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΕ, ΕΔ κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ.

Ὁμοίως δὴ b δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς τὴν ΑΒΓ γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· ἡ ἄρα ΑΒΓ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστιν, ἧς κέντρον τὸ Ε.

Πόρισμα β′. Ἐκ δὴ c τούτου φανερὸν, ὅτι ἐὰν ᾖ ἐν

σφαίρᾳ κύκλος, ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθε τος ἀγομένη ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου.