Sphaerica

Ἐὰν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτηται μὴ τέμνοντος, ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον.

Σφαῖρα γὰρ ἐπιπέδου τινὸς ἁπτέσθω μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Β σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΑ λέγω, ὅτι ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐπίπεδον.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον, τομὴν δὲ ποιήσει ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν. Ποιείτω οὖν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΑΓΔ κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ τὴν ΕΑΖ εὐθεῖαν. Πάλιν δὲ διὰ τῆς ΑΒ ἕτερον ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω, καὶ ποιείτω τὴν τομὴν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὸν ΑΘ κύκλον, ἐν δὲ τῷ ἐπιπέδῳ τὴν ΚΑΛ εὐθεῖαν.

Καὶ ἐπεὶ τὸ ἐπίπεδον ἐφάπτεται τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ΕΑΖ ἄρα εὐθεῖα ἐφάπτεται τοῦ ΑΓΔ κύκλου. Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΓΔ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΕΑΖ κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἀπὸ δὲ τοῦ Α ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπέζευκται ἡ ΑΒ, ἡ ΑΒ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΕΑΖ, καὶ φανερὸν, ὅτι τὸ Β σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΓΔ κύκλου, ἐπειδήπερ ἐκβέβληται διὰ τῆς ΒΑ, οὔσης ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἐπίπεδον τὸ τοῦ ΑΓΔ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐπὶ τὴν ΚΑΛ κάθετός ἐστιν ἡ ΒΑ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΑ δύο εὐθείαις ταῖς ΕΖ, ΚΛ τεμνούσαις ἀλλήλας ἐπὶ τῆς τομῆς ὀρθὴ ἐφέστηκε, καὶ τῷ δι’ αὐτῶν .ἄρα ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ ΒΑ. Τὸ δὲ διὰ τῶν ΕΖ, ΚΛ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ἐφαπτόμενον· ἡ ΑΒ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐφαπτόμενον ἐπίπεδον τῆς σφαίρας.

Ἐὰν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτηται μὴ τέμνοντος, ἀπὸ δὲ τῆς ἁφῆς τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα, ἐπὶ τῆς ἀνασταθείσης ἔσται τὸ κέντρον τῆς σφαίρας.

Σφαῖρα γὰρ ἐπιπέδου ἁπτέσθω μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον,

Μὴ γὰρ, ἀλλ’, εἰ δυνατὸν, ἔστω τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ.

Ἐπεὶ οὖν σφαῖρα ἐπιπέδου ἅπτεται μὴ τέμνοντος κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὴν ἁφὴ ἐπέζευκται ἡ ΓΑ, ἡ ΓΑ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ἐπίπεδον· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΑ ὀρθὴ πρὸς τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον· ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρα σημείου τοῦ Α τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὑποκειμένῳ δύο πρὸς ὀρθὰς ἀνιστάμεναί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΑΓ εὐθεῖαι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα τὸ Γ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλο, πλὴν τὸ ἐπὶ τῆς ΒΑ. Ἐπὶ τῆς ΒΑ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας.