Sphaerica

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ ἐπ’ αὐτὸν κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ· ἐπὶ τὸ κέντρον πεσεῖται τοῦ κύκλου, καὶ προσεκβαλλομένη ἐπὶ τὸν ἕτερον πόλον πεσεῖται τοῦ κύκλου.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ τοῦ Δ κάθετος ἤχθω ἐπ’ αὐτὸν ἡ ΔΕ, καὶ συμβαλλέτω τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· λέγω, ὅτι τὸ μὲν Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τὸ δὲ Ζ ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ κύκλου.

Διήχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε αἱ ΕΑ, ΕΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΒ, ΑΖ, ΒΖ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας, καὶ οὔσας ἐν τῷ ΑΒΓ κύκλῳ, ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. Ἅπτεται δὲ αὐτῆς ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ, οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΕΑ, ΔΕΒ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ, ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΛ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΕ, ΕΔ· κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ λοιπῷ, ἴση ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὁτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσί τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ τὸ Ζ σημεῖον ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΒΖ ἴση ἐστίν. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὴν ΑΒΓ a γραμμὴν προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσί. Τὸ Ζ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τὸ δὲ Δ ὁ ἕτερος πόλος.

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ ἀγομένη εὐθεῖα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν κύκλον, καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, πόλοι δὲ αὐτοῦ ἔστωσαν τὰ Ε, Ζ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ διὰ τῶν πόλων ἀγομένη, καὶ ἔστω ἡ ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον, καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται.

Συμβαλλέτω γὰρ τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον ἡ ΕΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η σημείου διήχθωσαν αἱ ΑΗΓ, ΒΗΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΔ, ΒΖ, ΖΔ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΖΔ ἐστὶν ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἴση ἐστί. Πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΗ, δύο δὴ αἱ ΒΕ, ΕΗ δυσὶ ταῖς ΕΗ, ΕΔ ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΕΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΒΗ βάσει τῇ ΗΔ ἐστὶν ἴση, καὶ τὸ ΕΒΗ τρίγωνον τῷ ΕΔΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστὶ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἔσονται ἴσαι, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΗΕ γωνίᾳ. Ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΕ, ΔΗΕ γωνιῶν, ἡ ΕΗ ἄρα τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθάς ἑστιν. Ὁμοίως δὴ b δειχθήσεται, ὅτι ἡ Ε τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ἡ ΕΗ καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΔ, ΑΓ ἄρα ἐπιπέδῳ, τοῦτ’ ἔστι τῷ ΑΒΓΔ κύκλῳ, πρὸς ὀρθάς ἐστιν, ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ καὶ τῆς σφαίρας ἥξει.

Ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ, ἀπὸ δέ τινος τῶν πόλων αὐτοῦ ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΕΗ, καὶ συμβάλλει τῷ ἐπι