Sphaerica

Ἐν σφαίρᾳ οἱ μέγιστοι κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.

Εἰλήφθω γὰρ αὐτῶν τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Η, τὸ δὲ αὐτό ἐστι καὶ τῆς σφαίρας, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἡ ΕΗ, ΗΖ.

Καὶ ἐπεὶ τὰ Ε, Η, Ζ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ ἐστὶν, ἔστι δὲ καὶ ἐν τῷ ΔΓ· ἐπὶ ἀμφοτέροις ἄρα τοῖς ἐπιπέδοις τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων τὰ Ε, Η, Ζ σημεῖά ἐστι, τὰ Ε, Η, Ζ ἄρα ἐν τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἐστί. Πάντως δὲ δύο ἐπιπέδων ἡ κοινὴ τομὴ εὐθεῖά ἐστιν, εὐθεῖά ἐστιν ἄρα ἡ ΕΗΖ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒ κύκλου, ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν αὐτοῦ, ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΑΖ, ΕΒΖ ἡμικύκλιόν ἐστι. Πάλιν ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔ κύκλου, ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν αὐτοῦ, ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΓΖ, ΕΔΖ ἡμικύκλιόν ἐστιν. Οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.

Ἐν σφαίρᾳ οἱ δίχα τέμνοντες ἀλλήλους κύκλοι μέγιστοί εἰσιν.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ κύκλοι μέγιστοί εἰσιν.

Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΕΖ, ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστι τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων· λέγω δὴ, ὅτι καὶ τῆς σφαίρας. Τετμήσθω ἡ ΕΖ δίχα κατὰ τὸ Η· τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν κύκλων. Ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Η σημείον τῷ μὲν τοῦ ΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΘ, τῷ δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΚ.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΓΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνέσταται ἡ ΗΘ· ἐπὶ τῆς ΗΘ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐπὶ τῆς ΗΚ, ἐπὶ τῆς ἄρα κοινῆς τομῆς τῶν ΗΘ, ΗΚ, τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἐστίν· ἡ δὲ κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἐστι τὸ Η σημεῖον· τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας. Ἔστι δὲ καὶ τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων κέντρον τὸ Η σημεῖον, οἱ δὲ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντες τῆς σφαίρας κύκλοι μέγιστοί εἰσι· ἐν σφαίρᾳ ἄρα δίχα τέμνοντες ἀλλήλους κύκλοι μέγιστοί εἰσιν.