Syntaxis mathematica

Claudius Ptolemaeus

Claudius Ptolemaeus. Claudii Ptolemaei Opera quae exstant omnia, Volume 1, Part 1-2. Heiberg, J.L., editor. Leipzig: Teubner, 1898-1903.

Ἐξῆς δʼ ἂν εἴη συναποδεῖξαι τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερειῶν τὰς γινομένας πηλικότητας ὑπὸ τῶν γραφομένων κύκλων διά τε τῶν πόλων αὐτοῦ καὶ τῶν διδομένων τοῦ λοξοῦ κύκλου τμημάτων· οὕτω γὰρ ἕξομεν, ἐν ὁπόσοις χρόνοις ἰσημερινοῖς τὰ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τμήματα διελεύσεται τόν τε μεσημβρινὸν πανταχῆ καὶ τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα διὰ τὸ καὶ αὐτὸν τότε μόνον διὰ τῶν πόλων γράφεσθαι τοῦ ἰσημερινοῦ.

ἐκκείσθω τοίνυν ἡ προδεδειγμένη καταγραφή, καὶ δοθείσης πάλιν τῆς Ε Η περιφερείας τοῦ λοξοῦ κύκλου πρότερον τμημάτων λ δέον ἔστω τὴν Ε Θ τοῦ ἰσημερινοῦ περιφέρειαν εὑρεῖν.

κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς ἔμπροσθεν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Η πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Θ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α p. 74, 15. ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς Ζ Β περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρλβ ιζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ, ἡ δὲ τῆς Β Α μοιρῶν μζ μβ μ [*](1. ιϛʹ] ςι B, om. ACD. συναναφορῶν D. 22. ἰσημερινοῦ] B C D, ἰσημερινοῦ κύκλου A, κύκλου mg. pro scholio B.C. 5. οὕτως D. 6. -ν ἐν ὁπ-] postea ins. A1. 19. λόγος] -ς in ras D3, seq. ras. 4 litt συνῆπται] σύγκειται D. 20. τῆς (alt.) — 21. Η Θ] supra scr C3. 21. Ζ — Η Θ] mg. B3. πρὸς τήν] καὶ τῆς C3. τῆς Η Θ] etian in textu C, Η Θ in textu B.) [*](καί] καὶ ἐκ D. 22. Θ E] E Θ D. 24. ὑπό] A, ὑπʼ B C D.) [*](25. Β Α] Β Α διπλῆ D. μ] corr ex ζ D.)

καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λ νε καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Ζ Η περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ρ μ α καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ λα ιε, ἡ δὲ τῆς Η Θ μοιρῶν κγ ιθ νθ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κδ ιε νζ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριζ λα ιε πρὸς τὰ κδ ιε νζ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α λόγος ὁ τῶν νδ νβ κς πρὸς τὰ ριζ λα ιε· ὁ δʼ αὐτὸς λόγος ἐστὶν καὶ τῶν νς α κε πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΕΑ μοιρῶν ρπ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Θ Ε τμημάτων τῶν αὐτῶν ἐστιν νς α κε. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Θ Ε περιφερείας ἔσται μοιρῶν νε μ ἔγγιστα, ἡ δὲ Θ Ε τῶν αὐτῶν κζ ν.

πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε Η περιφέρεια μοιρῶν ξ, ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ζ περιφερείας γίνεσθαι μοιρῶν ρλη νθ μρ καὶ τὴν ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριβ κγ νς, τὴν δὲ διπλῆν τῆς Η Θ περιφερείας μοιρῶν μα ο ιη καὶ τὴν ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μβ α μη. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μ λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριβ κγ νς πρὸς τὰ μβ α μη, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν [*](1. ὑπό) A, ὑπ᾿ B CD. 2. ρνς μ α] B, ρν ς μα A, ρνς μ β B3, ρνς μα C, ρνς μςβ D. 3. ὑπό] AC, corr. ex ὑπʼ B, ὑπ᾿ D.) [*](4. Η Θ] Η Θ περιφερείας διπλασίων D. ὑπό] AC, ὑπ᾿ B D.) [*](5. ἐάν] bis D, sed corr. ρθ] corr. ex D3. 7. ὁ] in ras. C. 10. καί] καὶ ὁ D. κε] corr. ex νγ D3, νγ in ras. B3.) [*](11. ὑπʼ] corr. ex ἀπʼ C. 13. τμημάτων] supra scr. D3. κε] corr. ex νγ D3. 15. Post μ ras. 1 litt. D. 20. Η Θ] AB3C2D, Ζ Η BC. περιφερείας] om. D. 21. ἄρα] ἄρα πάλιν D. 22. λα] corr. ex λβ D3. λόγουσ, σ eras., D.)

διπλῆν τῆς Ε Α ὁ τῶν ??ε β μ πρὸς τὰ ριβ κγ νς ὁ δʼ αὐτὸς τούτῳ λόγος ἐστὶν καὶ ὁ τῶν ρα κη κ πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α περιφερείας εὐθεῖα τμημάτων ρκ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε τῶν αὐτῶν ἐστιν ρα κη κ. καὶ ἡ μὲν διπλῆ ἄρα τῆς Θ Ε περιφερείας ἔσται μοιρῶν ριε κη ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ Θ Ε τῶν αὐτῶν νζ μδ.

καὶ δέδεικται, ὅτι τὸ μὲν α΄ ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ σημείου δωδεκατημόριον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου συγχρονεῖ τοῖς τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸν ἐκκείμενον τρόπον τμήμασιν κζ ν, τὸ δὲ δεύτερον τμήμασιν κθ νδ, ἐπειδήπερ ἀμφότερα ἀπεδείχθη μοιρῶν νζ μδ· καὶ τὸ τρίτον δὲ δηλονότι δωδεκατημόριον συγχρονίσει ταῖς λοιπαῖς εἰς τὸ τεταρτημόριον μοίραις λβ ις διὰ τὸ καὶ ὅλον τὸ τοῦ λοξοῦ κύκλου τεταρτημόριον ὅλῳ τῷ τοῦ ἰσημερινοῦ συγχρονίζειν ὡς πρὸς τοὺς διὰ τῶν πόλων τοῦ ἰσημερινοῦ γραφομένους κύκλους.

τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον τῇ προκειμένῃ δείξει κατακολουθοῦντες ἐπελογισάμεθα καὶ τὰς ἑκάστῃ δεκαμοιρίᾳ τοῦ λοξοῦ κύκλου συγχρονούσας περιφερείας τοῦ ἰσημερινοῦ διὰ τὸ τὰς ἔτι τούτων μικρομερεστέρας μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρειν τῶν πρὸς ὁμαλὴν παραύξησιν ὑπεροχῶν. ἐκθησόμεθα οὖν καὶ ταύτας, ἵνα κατὰ τὸ πρόχειρον ἔχωμεν, ἐν ὅσοις χρόνοις αὐτῶν [*](2. ἐστίν] -ν del. C2. κ] D, supra scr. A1, in ras B3. β C. 5. τῶν — 6, Θ Ε] D, om. A, mg. BC. 5. ἐστιν] ἔσται D. 6. ἄρα] D, ἐκ BC. 8. δέδεικται] corr. ex δέ- δεκται C2. τό] supra scr. C2. 10. τοῖς] om. D. 11. δέ] om. BC. 14. συγχρονίσει] BC, συνχρονίσει A, συνχρονήσει A3, συγχρονήσει mut. in συγχρονιεῖ λοιπαῖς] λειπούσαις corr. ex λιπούσαις D. 15 τοῦ] corr. ex τὸ C2. 16. συγχρονεῖν BC.) [*](19. δεκαμοιρίᾳ] corr. ex δεκατημορίᾳ D3. 22. πρός] corr. ex πρὸ| ς D3. 24. προχείροτον D, προχειρότατον D3.)

ἑκάστη τόν τε μεσημβρινόν, ὡς ἔφαμεν, πανταχῆ καὶ τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα διελεύσεται, τὴν ἀρχὴν ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ ἰσημερινῷ σημείῳ δεκαμοιρίας ποιησάμενοι.

ἡ μὲν οὖν πρώτη περιέχει χρόνους θ ι, ἡ δὲ δευτέρα χρόνους θ ιε, ἡ δὲ τρίτη χρόνους θ κε, ὥστε τοὺς ἐπὶ τὸ αὐτὸ τοῦ α΄ δωδεκατημορίου συνάγεσθαι χρόνους κζ ν· ἡ δὲ τετάρτη χρόνους θ μ, ἡ δὲ πέμπτη χρόνους θ νη, ἡ δὲ ἕκτη χρόνους ι ις, ὥστε καὶ τοῦ δευτέρου δωδεκατημορίου τοὺς κθ νδ χρόνους συνάγεσθαι· ἡ δὲ ἑβδόμη χρόνους ι λδ, ἡ δὲ ὀγδόη χρόνους ι μζ, ἡ δὲ ἐνάτη χρόνους ι νε, ὡς πάλιν συνάγεσθαι καὶ τοῦ μὲν τρίτου καὶ πρὸς τοῖς τροπικοῖς σημείοις δωδεκατημορίου τοὺς λβ ις χρόνους, ὅλου δὲ τοῦ τεταρτημορίου τοὺς ?? συμφώνως.

καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν, ὅτι καὶ ἡ τῶν λοιπῶν τεταρτημορίων τάξις ἡ αὐτὴ τυγχάνει οὖσα, πάντων καθʼ ἕκαστον τῶν αὐτῶν συμβαινόντων διὰ τὸ τὴν σφαῖραν ὀρθὴν ὑποκεῖσθαι, τουτέστιν τὸν ἰσημερινὸν ἀνέγκλιτον πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

[*](3. τὸ ἰσημερινὸν σημεῖον D. δεκαμοιρίας] post pr. -α- ras. 1. litt. D. 5. περιέχει] seq. ras. 1. litt. D. ι ἡ] ι΄|ἡ corr. ex |ιἡ D3. 9. χρόνους (alt.)] -αν- ins. D3. ις] corr. ex ιU+03F2 D. ὥστε] ὡς D. 12. ἐνάτη] θ C, ν supra add. D3. 14. δωδεκατημορίους, -ς eras., D. τούς] om D. 17. οὖσα] om D. 19. τουτέστιν] -ν del. C. ln fine: Κλαυδίου Πτολεμαίου μαθηματικῶν (-ὸν C) α΄ A B C, τέλος τοῦ πρώτου mg. sup. D3.)

Τάδε ἔνεστιν ἐν τῷ β΄ τῆς Πτολεμαίου μαθηματικῆς συντάξεως·

αʹ. περὶ τῆς καθόλου θέσεως τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης.

β΄. πῶς δοθέντος τοῦ τῆς μεγίστης ἡμέρας μεγέθους αἱ ἀπολαμβανόμεναι τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαι ὑπό τε τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου δίδονται.

γ΄. πῶς τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου δίδοται καὶ τὸ ἀνάπαλιν.

δ΄, πῶς ἐπιλογιστέον, τίσιν καὶ πότε καὶ ποσάκις ὁ ἥλιος γίνεται κατὰ κορυφήν.

ε΄. πῶς ἀπὸ τῶν ἐκκειμένων οἱ λόγοι τῶν γνωμόνων πρὸς τὰς ἰσημερινὰς καὶ τροπικὰς ἐν ταῖς μεσημβρίαις σκιὰς λαμβάνονται.

ς΄, ἔκθεσις τῶν κατὰ παράλληλον ἰδιωμάτων.

ζ΄. περὶ τῶν ἐπὶ τῆς ἐγκεκλιμένης σφαίρας τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ συναναφορῶν.

η΄. ἔκθεσις κανονίων τῶν κατὰ δεκαμοιρίαν παράλληλον ἀναφορῶν.

[*](1. Β΄] om. AΒC; Κλαυδίου Πτολεμαίου μαθηματικῶν D, β add. D3. 2. τῆς — 3. συντάξεως] βιβλίῳ τῶν Πτολεμαίου μαθηματικῶν D. 6. ὁρίζοντος] ὁρίζοντος καὶ τοῦ D. 11. τίσι D. 15. μεσημβριναῖς σκιαῖς D. 17. ἐγκεκλισμένης AC.)[*](20. κανονίου D. δεκαμοιρίαν] om D. παράλληλον] -λον comp. in ras. B.)

θ΄. περὶ τῶν κατὰ μέρος ταῖς ἀναφοραῖς παρακολουθούντων.

ι΄. περὶ τῶν ὑπὸ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γινομένων γωνιῶν.

ια΄. περὶ τῶν ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ τοῦ ὁρίζοντος γινομένων γωνιῶν.

ιβ΄. περὶ τῶν πρὸς τὸν αὐτὸν κύκλον τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος γινομένων γωνιῶν καὶ περιφερειῶν.

ιγ΄. ἔκθεσις κατὰ παράλληλον τῶν προκειμένων γωνιῶν καὶ περιφερειῶν.

Διεξελθόντες ἐν τῷ πρώτῳ τῆς συντάξεως τά τε περὶ τῆς τῶν ὅλων σχέσεως κατὰ τὸ κεφαλαιῶδες ὀφείλοντα προληφθῆναι, καὶ ὅσα ἄν τις τῶν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας χρήσιμα πρὸς τὴν τῶν ὑποκειμένων θεωρίαν ἡγήσαιτο, πειρασόμεθα κατὰ τὸ ἑξῆς καὶ τῶν περὶ τὴν ἐγκεκλιμένην σφαῖραν συμβαινόντων τὰ κυριώτερα πάλιν, ὡς ἔνι μάλιστα, κατὰ τὸν εὐμεταχείριστον τρόπον ἐφοδεῦσαι.

καὶ ἐνταῦθα δὴ τὸ μὲν ὁλοσχερῶς ὀφεῖλον προληφθῆναι τοῦτό ἐστιν, ὅτι τῆς γῆς εἰς τέσσαρα διαιρουμένης [*](1. παρακαλουθόντων D. 7. τῶν ( pr.)] τοῦ B. 8. καί] D, καὶ τῶν AΒC, τῶν del. A3. 10. κατά] τῶν κατά A. γω- νιῶν] τῶν γωνιῶν A. 11. ln fine add. κεφάλαια ιγ D. 12. μαθηματικῶν β supra scr. B. α΄] B, om. ACD. 14. τε] om. BC. 17. τῶν ὑποκειμένων] ὑποκειμένην D. 18. ἡγή- σατο D. 22. τό] τ- in ras. A. ὁλοσχερές B. 23. τοῦτό ἐστιν] τουτέστιν D. τέσσαρα] τέσσερα A, Δ D. )

τεταρτημόρια τὰ γινόμενα ὑπό τε τοῦ κατὰ τὸν ἰσημερινὸν κύκλον καὶ ἑνὸς τῶν διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ γραφομένων τὸ τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης μέγεθος ὑπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν βορείων ἔγγιστα ἐμπεριέχεται. τοῦτο δʼ ἂν μάλιστα γένοιτο φανερὸν (ἐπὶ μὲν τοῦ πλάτους, τουτέστιν τῆς ἀπὸ μεσημβρίας πρὸς τὰς ἄρκτους παρόδου, διὰ τοῦ πανταχῆ τὰς ἐν ταῖς ἰσημερίαις τῶν γνωμόνων γιγνομένας μεσημβρινὰς σκιὰς πρὸς ἄρκτους αἰεὶ ποιεῖσθαι τὰς προσνεύσεις καὶ μηδέποτε πρὸς μεσημβρίαν, ἐπὶ δὲ τοῦ μήκους, τουτέστιν τῆς ἀπὸ ἀνατολῶν πρὸς δυσμὰς παρόδου, διὰ τοῦ τὰς αὐτὰς ἐκλείψεις, μάλιστα δὲ τὰς σεληνιακάς, παρά τε τοῖς ἐπʼ ἄκρων τῶν ἀνατολικῶν μερῶν τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης οἰκοῦσι καὶ παρὰ τοῖς ἐπʼ ἄκρων τῶν δυτικῶν κατὰ τὸν αὐτὸν χρόνον θεωρουμένας μὴ πλέον δώδεκα προτερεῖν ἢ ὑστερεῖν ὡρῶν ἰσημερινῶν αὐτοῦ κατὰ μῆκος τοῦ τεταρτημορίου δωδεκάωρον διάστημα περιέχοντος, ἐπειδήπερ ὑφʼ ἑνὸς τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικυκλίων ἀφορίζεται. τῶν δὲ κατὰ μέρος ὀφειλόντων θεωρηθῆναι μάλιστʼ ἄν τις ἡγήσαιτο πρὸς τὴν προκειμένην πραγματείαν ἁρμόζειν τὰ καθʼ ἕκαστον τῶν βορειοτέρων τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου παραλλήλων αὐτῷ καὶ ταῖς ὑποκειμέναις οἰκήσεσι κατὰ τὰ κυριώτερα τῶν ἰδιωμάτων συμπίπτοντα· ταῦτα [*](5. ἐπί] e corr. D3. 7. παρόδουσ D, σ eras. 8. γινο- μένας C. 9. ἀεί D. 10. μεσημβρίαν] -ν e corr. D3. 11. ἀπό] ἀπʼ D. 12. μάλιστα] μ- in ras. A. τάς] om. D.) [*](15. δυτικῶν] δυ- e corr. A; αὐτικῶν C, δ supra scr. C3. 16. ὁρῶν C. 17. Post τοῦ ins. τῆς γῆς mg. pro scholio BC.) [*](τεταρτημορίου] τεταρτημορίου τῆς γῆς A. δωδεκάωρον] corr. ex δεκάωρον A4. 20 μάλιστʼ ἄν] μάλιστα D. 21. τά] corr. ex τό BC3. 22 κύκλων D. 23. κατά] corr. ex κα C3, κα corr. ex καί B2.)

δʼ ἐστίν, ὅσον τε οἱ πόλοι τῆς πρώτης φορᾶς τοῦ ὁρίζοντος ἀφεστήκασιν, ἢ ὅσον τὸ κατὰ κορυφὴν σημεῖον τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸν μεσημβρινὸν κύκλον, καί, οἷς ὁ ἥλιος κατὰ κορυφὴν γίνεται, πότε καὶ ποσάκις τὸ τοιοῦτο συμβαίνει, καὶ τίνες οἱ λόγοι τῶν ἰσημερινῶν καὶ τροπικῶν ἐν ταῖς μεσημβρίαις σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας, καὶ πηλίκαι τῶν μεγίστων ἢ ἐλαχίστων ἡμερῶν παρὰ τὰς ἰσημερινὰς αἱ ὑπεροχαί, καὶ ὅσα ἄλλα περὶ τὰς κατὰ μέρος αὐξομειώσεις τῶν νυχθημέρων ἔτι τε περί τε τὰς συνανατολὰς καὶ συγκαταδύσεις τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ περὶ τὰ ἰδιώματα καὶ τὰ μεγέθη τῶν γινομένων γωνιῶν ὑπὸ τῶν κυριωτέρων καὶ μεγίστων κύκλων ἐπισυμβαίνοντα θεωρεῖται.

Προκείσθω δὴ καθόλου τῶν ὑποδειγμάτων ἕνεκεν ὁ διὰ Ῥόδου γραφόμενος παράλληλος τῷ ἰσημερινῷ κύκλος, ὅπου τὸ μὲν ἔξαρμα τοῦ πόλου μοιρῶν ἐστιν λς, ἡ δὲ [*](1. δʼ] δέ D. τε] om. D. τοῦ] ἀπὸ τοῦ D. 3. Post κύκλον add. ἀφέστηκεν mg. A1, ἀφεστη mg. B, α ἀφεστήκασιν mg. C. 4. γίγνεται D. καί] καὶ ποῦ καί D. 5. τοιοῦτον D.) [*](τίνες] τίνες τε D. 9. αὐξομειώσεις] -υ- supra scr. C2, pr. ε ins. A4. νυχθημέρων] corr. ex νυχθημερινῶν D3. 10. συν- ανατολάς] corr. ex συνανατολικάς C2. 12. περί] ὅσα περί D.) [*](Post καί del. κατά D3. 15. β΄] β B, om. ACD. 16. αἱ] α- in ras. C. 19. καθόλου] inter duas ras. 8 et 3 litt. D.) [*](20. Ῥόδου] Ῥ- in ras. A1. παράλληλος] παράλληλος κύκλος D.) [*](κύκλος] κυκλῳ D. 21. μοιρῶν] ras. 3 litt. A.)

μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιδU+2220΄, καὶ ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, ὁρίζοντος δὲ ἀνατολικὸν ἡμικύκλιον τὸ Β Ε Δ, καὶ ἰσημερινοῦ μὲν ἡμικύκλιον ὁμοίως τὸ ΑΕΓ, ὁ δὲ νότιος αὐτοῦ πόλος τὸ Ζ. ὑποκείσθωο δὲ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τὸ χειμερινὸν τροπικὸν σημεῖον ἀνατέλλον διὰ τοῦ Η, καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Ζ, Η μεγίστου κύκλου τεταρτημόριον τὸ Ζ Η Θ. δεδόσθω δὲ πρῶτον τὸ μέγεθος τῆς μεγίστης ἡμέρας, καὶ προκείσθω τὴν Ε τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν εὑρεῖν.

ἐπεὶ τοίνυν ἡ τῆς σφαίρας στροφὴ περὶ τοὺς τοῦ ἰσημερινοῦ πόλους ἀποτελεῖται, φανερόν, ὅτι ἐν τῳ αὐτῷ χρόνῳ τό τε Η σημεῖον καὶ τὸ Θ κατὰ τὸν Α Β Γ Δ μεσημβρινὸν ἔσται, καὶ ὁ μὲν ἀπʼ ἀνατολῆς μέχρι τῆς ὑπὲρ γῆν μεσουρανήσεως τοῦ Η χρόνος ὁ περιεχόμενος ἐστὶν ὑπὸ τῆς Θ Α τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερείας, ὁ δʼ ἀπὸ τῆς ὑπὸ γῆν μεσουρανήσεως μέχρι [*](4. καί — 6. Α Ε Γ] supra scr. D3. 6. ΑΕΓ] -Γ e corr. C.) [*](13. ἀνατέλλων C. 17. Ε Η — περιφέρειαν] Η Ε περιφέρειαν τοῦ ὁρίζοντος D. 18. εὑρεῖν] add. B2C3. 20. ἀποτελεῖται] -εῖ- corr. ex ε A4. 22. ΑΒΓΔ] corr. ex ΓΔ, ΑΒ D3.) [*](ἔσται] ἔσται δηλονότι κινουμένης τῆς σφαίρας D. ἀπʼ] ἀπὸ D. ἀνατολῆς] -λη- renouat. D3. 23. χρόνος] comp. Β, mut. in χρόνους C2.)

τῆς ἀνατολῆς ὁ περιεχόμενος ὑπὸ τῆς Γ Θ. ἀκόλουθον δέ ἐστιν, ὅτι καὶ ὁ μὲν τῆς ἡμέρας χρόνος ὁ διπλασίων ἐστὶν τοῦ ὑπὸ τῆς Θ Α περιεχομένου, ὁ δὲ τῆς νυκτὸς ὁ διπλασίων τοῦ ὑπὸ τῆς Γ Θ περιεχομένου, ἐπειδήπερ καὶ χωρὶς τά τε ὑπὲρ γῆν καὶ τὰ ὑπὸ γῆν τμήματα τῶν παραλλήλων τῷ ἰσημερινῷ κύκλων πάντων διχοτομεῖται ὑπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ.

διὰ δὲ τοῦτο καὶ ἡ μὲν Ε Θ περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τοῦ διαφόρου τῆς ἐλαχίστης ἢ μεγίστης ἡμέρας παρὰ τὴν ἰσημερινὴν μιᾶς μὲν ὥρας καὶ δ΄ γίνεται κατὰ τὸν ὑποκείμενον παράλληλον, χρόνων δὲ δηλονότι ιη με, ἡ δὲ λοιπὴ εἰς τὸ τεταρτημόριον ἡ Θ Α τῶν αὐτῶν οα ιε. ἐπειδὴ οὖν κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν ἀποδεδειγμένοις εἰς δύο μεγίστων κύκλων περιφερείας τὰς Α Ε καὶ Α Ζ δύο γεγραμμέναι εἰσὶν αἱ Ε Β καὶ ΖΘ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε p. 76, 3. ἀλλὰ ἡ μὲν τῆς Θ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρμβ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριγ λζ νδ, ἡ δὲ τῆς Α Ε μοιρῶν ρπ καὶ ἡ [*](2. χρόνος] mut. in χρόνους C2. 4. Post περιεχομένου del. ἐπειδὴ περιεχομένου A. 5. τμήματα] corr. ex τμημάτων D3.) [*](6. τῶν] om. D. κύκλωι D. 15. Α Ζ] corr. ex Α Β Ζ D3.) [*](16. Ζ Θ] corr. ex Ζ Η Θ D. 17. Θ Α]-Α supra ras. 1 litt. D3. τῆς ( alt.) — 19. διπλῆν] supra scr. D4. 17. Α Ε] Α Ε CD4. 21. ἀλλʼ B. Post περιφερείας una litt. (ι?) ma- cula del. C. 22. ὑπό] AΒC, ὑπ᾿ C2D. 23 τμημάτων — p. 92, 1. ρκ] bis C, corr. C2. 23. λζ] in repet corr ex λξ C. Α Ε] Α Ε διπλῆ D.)

ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Θ Ζ διπλῆ μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, ἡ δὲ τῆς Ζ Η μοιρῶν ρλβ ιζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν ριγ λζ νδ πρὸς τὰ ρκ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρκ πρὸς τὰ ρθ μδ νγ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε λόγος ὁ τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε περιφερείας, ἐπεὶ τεταρτημορίου τυγχάνει, τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Η Β τῶν αὐτῶν ἐστιν ργ νε κγ· ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Β Η περιφερείας ἔσται μοιρῶν ρκ ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ Β Η τῶν αὐτῶν ξ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Η Ε τοιούτων καταλείπεται λ, οἵων ἐστὶν ὁ ὁρίζων τξ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Προκείσθω δὴ πάλιν τούτου δεδομένου καὶ τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου λαβεῖν, τουτέστιν τὴν Β Ζ περιφέρειαν τοῦ μεσημβρινοῦ. γίνεται τοίνυν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν [*](1. τμημάτων ρκ] etiam mg. C2. τῆς] corr. ex τῆ D3. 2. ὑπό] A, ὑπ᾿ B C D. 3. ρλβ] corr. ex ραβ A. ὑπό] AC2, ὑπ᾿ B C D. 5. ρν] -ι- supra ras 1 litt. D. νδ] corr. ex νλ D3. 7. τῆς Η Β] supra scr. C. 8. ργ] post ρ ras. 1 litt. D. κγ] B, κγ A, κς CD: sed cfr. p. 93, 10. 11. κγ] κγ A, κϛ B C D. 12. Β Η] Η Β D. μοῖραι D. 13. καί] corr. ex ἡ D3. 14. ὁρίζων] -ν supra scr. C2. 15. ὅπερ] supra scr. D3. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] ο): ~ AΒC. 16. γ΄] B, om ACD. 18. δὴ πάλιν] corr. ex δηπλην C. δεδομένου] δεο- μένου D. 19. Β Ζ] Ζ B D. 21. Ε Θ] Θ Ε D. )

τῆς Θ A λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Η πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α p. 74, 15. ἀλλ᾿ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ε Θ μοιρ ἐστιν λζ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων λη λδ κβ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς Θ Α μοιρῶν ρμβ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριγ λζ νδ, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ε Η μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς Η Β μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ργ νε κγ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν λη λδ κβ πρὸς τὰ ριγ λζ νδ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ργ νε κγ, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος ὁ τῶν λγ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν πάλιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α περιφερείας τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Β Ζ τῶν αὐτῶν ἐστιν ο λγ· ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Β Ζ περιφερείας ἔσται μοιρῶν οβ α, ἡ δὲ Β Ζ τῶν αὐτῶν λς ἔγγιστα.

πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἀνάπαλιν ἡ μὲν Β Ζ περιφέρεια τοῦ ἐξάρματος τοῦ πόλου δεδόσθω [*](1. συνημμένος] ὁ συνηγμένος D. 2. Ε Η] Η Β καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Η B C, corr. B2. πρός — Η Β] del. C2.) [*](4. τῆς ( pr.)] bis D. 5. λζ] -ζ im ras. A1. ὑπ᾿ D. αὐτήν] corr. ex τήν C. εὐθεῖα] in ras. C. 6. ὑπό] mut. in ὑπʼ C2. ὑπ᾿ D. 8. Ante ξ ras. 1 litt. A. ὑπό] mut. in ὑπʼ C2. ὑπʼ D. 9. Post ξ del. Η D3. Η Β] -β in ras. B Η Μ C, corrigere uoluit C2. ὑπ᾿ D. 10. ἐὰν ἄρα] bis D, corr. D3.) [*](13. Β Ζ] Ζ Β B. 14. ἐστιν] -ν del. C2, comp. Β. 18. ἔσται 1 μοιρῶν] μοι ἐστιν D. οβ α] α in ras. A, corr. ex β D3.) [*](20. πῶς τοῦ ἐξάρματος τοῦ πόλου δοθέντος τὸ μέγεθος τῆς μεγίστης ἡμέρας δίδοται mg. pro scholio B. 21. Β Ζ] -Ζ in ras. A, Ζ B D.)

τετηρημένη μοιρῶν λς, προκείσθω δὲ εὑρεῖν τὸ διάφορον τῆς ἐλαχίστης ἢ μεγίστης ἡμέρας παρὰ τὴν ἰσημερινήν, τουτέστιν τὴν διπλῆν τῆς ΕΘ περιφερείας. γίνεται τοίνυν διὰ τὰ αὐτὰ p. 74, 15 ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΒ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ. ἀλλʼ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΒ μοιρῶν ἐστιν οβ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ο λβ γ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΒΑ μοιρῶν ρη καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ??ζ δ νς, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΗ μοιρῶν ἐστιν ρλβ ῑζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΗΘ μοιρῶν μζ μβ μ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λᾱ νε· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ο λβ γ πρὸς ??ζ δ νς λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μη λᾱ νε, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ λόγος ὁ τῶν λᾱ ῑᾱ κγ πρὸς τὰ ??ζ δ νς. καὶ ἐπειδὴ ὁ αὐτὸς λόγος ἐστὶν ἔγγιστα καὶ τῶν λη λδ πρὸς τὰ ρκ, ἡ δὲ ὑπὸ [*](6. λόγος] λόγος ὁ D. 8. διπλῆν] δι- in ras. A. 10. οβ ἐστιν D. ὑπʼ D. ὑπὸ αὐτήν] ὑπʼ αὐτήν corr. ex ὑπὸ τήν C.) [*](11. γ] seq. ras. 1 litt. B, corr. ex Δ D3, δ AC, δ dal. C2.) [*](ὑπό] mut. in ὑπʼ C2, ὑπ᾿ AD. 12. μέν] -έ- in ras. A3. 13. ἐστιν] om. D. ρλβ] ρ- e corr. D3. ὑπό] mut. in ὑπ᾿ C2. ὑπʼ D. 14. μδ] corr. ex μν D3. 15. μβ] -β e corr. D3. μ] ζμ D, μ add. D3. ὑπό] mut. in ὑπ᾿ C2, ὑπ᾿ D. 16. γ] corr. ex Δ D3, γ δ AΒC, sed δ punctis adpositis del. AC2, eras. B.) [*](πρός] πρὸς τά D. 17. δ] postea ins. C. μδ] corr. ex νδ D3. 19. ΘΕ — τῆς] mg. A1. 20. κγ] suppra scr. β C2.) [*](καὶ ἐπειδή] ἐπεὶ δʼ D. 21. τῶν] ὁ τῶν D. λδ] λᾱ seq. ras. B. δέ] δʼ D.)

τὴν διπλῆν τῆς Ε Α τμημάτων ἐστὶν ρκ, συνάγεται καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ τῶν αὐτῶν λη λδ ὥστε καὶ ἡ διπλῆ τῆς Ε Θ περιφερείας μοιρῶν μὲν ἔσται λζ λ ἔγγιστα, ὡρῶν δὲ ἰσημερινῶν βU+2220΄ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δοθήσεται καὶ ἡ Ε Η τοῦ ὁρίζοντος περιφέρεια διὰ τὸ καὶ τὸν τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β λόγον δεδομένον συνῆφθαι p. 76, 3 ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η δεδομένου καὶ αὐτοῦ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β, ὥστε καὶ τῆς Ε Β δεδομένης καταλείπεσθαι καὶ τὸ τῆς Ε Η μέγεθος.

φανερὸν δʼ, ὅτι, κἂν μὴ τὸ χειμερινὸν τροπικὸν σημεῖον ὑποθώμεθα τὸ Η, τῶν ἄλλων δέ τι τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων, κατὰ τὰ αὐτὰ πάλιν ἑκατέρα τῶν Ε Θ καὶ Ε Η περιφερειῶν δοθήσεται προεκτιθεμένων τε ἡμῖν διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου τῶν ἀπολαμβανομένων τοῦ μεσημβρινοῦ περιφερειῶν ὑφʼ ἑκάστου τμήματος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, τουτέστιν τῶν ὁμοίων τῇ Η Θ περιφερείᾳ, καὶ παρακολουθοῦντος [*](3. μέν] om. D. 4. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. D. 6. πῶς δοθέντος τοῦ ἐξάρματος τοῦ πόλου δίδοται ἡ μεταξὺ τοῦ ἰση- μερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος περιφέρεια mg. B.) [*](9. -πλῆν — 11. δι-] mg. C2. 10. Ζ Θ] Θ Ζ D. Ζ Θ — 11. τῆς (alt.)] om. B. 10. τῆς] om. A. δεδομένου καὶ αὐτοῦ] om. C2. 11. ἐκ] om. C2. τῆς ( alt.)] om. A. Η Ε] corr. ex Ν Ε C2. 12. Ε Β ( alt.)] Β Ε D. 13. καταλείπτεσθαι] mut. in καταλιπέσθαι D. καί] om. D. 15. ἄλλων] -ν add. D3.) [*](18. προεκτιθεμένων] -ι- mut. in ε C2, προεκτεθειμένων D.) [*](τε] γε D. 20. ὑφʼ] ὑπό corr. ex ὑπʼ D3. τοῦ] om. B, add. C2. 22. τῇ] τῆς C. περιφερείᾳ] περιφερειῶν αἱ D, αἱ del. D3.)

μὲν αὐτόθεν τοῦ τὰ ὑπὸ τῶν αὐτῶν παραλλήλων γινόμενα τμήματα τοῦ διὰ μέσων, τουτέστιν τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου, τὰς αὐτὰς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ ἰσημερινοῦ ποιεῖν τὰς τοῦ ὁρίζοντος τομὰς καὶ τὰ τῶν νυχθημέρων μεγέθη ἴσα ἑκάτερα ἑκατέροις τῶν ὁμοίων, συναποδεικνυμένου δὲ τοῦ καὶ τὰ ὑπὸ τῶν ἴσων παραλλήλων γινόμενα, τουτέστιν τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου, τάς τε τοῦ ὁρίζοντος περιφερείας ἴσας ἑκατέρωθεν τοῦ ἰσημερινοῦ ποιεῖν καὶ τῶν νυχθημέρων ἐναλλὰξ ἴσα τὰ μεγέθη τῶν ἀνομοίων. ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης καταγραφῆς ὑποθώμεθα καὶ τὸ Κ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνει τὸ Β Ε Δ τοῦ ὁρίζοντος ἡμικύκλιον ὁ ἴσος καὶ παράλληλος τῷ διὰ τοῦ Η γραφομένῳ, καὶ συναναπληρώσωμεν τὰ Η Δ καὶ Κ Μ τῶν παραλλήλων τμήματα ἐναλλὰξ καὶ ἴσα δηλονότι γινόμενα διά τε τοῦ Κ καὶ τοῦ βορείου πόλου τὸ Ν Κ Ξ γράψωμεν τεταρτημόριον, ἴσαι μὲν ἔσονται ἡ μὲν Θ Α περιφέρεια τῇ Ξ Γ διὰ τὸ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τῶν Λ Η καὶ Μ Κ ὁμοίαν εἶναι, καταλειφθήσεται δὲ καὶ λοιπὴ ἡ Ε Θ λοιπῇ τῇ Ε Ξ ἴση, γενήσονται δὲ καὶ δύο τριπλεύρων ὁμοίων [*](1. μέν] om. D. 22. γινόμενα] γενόμενα D. 7. Ante μεγέθη del. τά D3. 15. καί] supra scr. A. 16. Β Ε Δ] om. D. 17. καί] om. D. γραφομένῳ] corr. ex γραφομένου D3.) [*](20. Ante διά ins. καί comp. C2. τὸ Ν Κ Ξ] corr. ex τὸν Κ Ξ A, corr. ex τὸ Κ Ξ Β2; τὸν Κ Ξ C, mg. τοῦ; ν mg. add. C2.) [*](21. ἴσαι] corr. ex ἴσς B2. μέν ( pr.)] om. D. Θ Α] Α Θ D.) [*](περιφερείαι C. 22. τῇ] καὶ ἡ Halma. ἑκατέρᾳ] corr. ex ἑκατέρας D. 23. τῇ] corr. ex τῆς D3. 24. ἴση] corr. ex ἴσης D3. καί] om. D.)

τῶν ΕΗΘ καὶ ΕΚΞ αἱ δύο μὲν πλευραὶ ταῖς δυσὶν ἴσαι, ἡ μὲν ΕΘ τῇ ΕΞ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΚΞ, ὀρθὴ δὲ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Θ καὶ Ξ γωνιῶν, ὥστε καὶ βάσιν τὴν ΕΗ βάσει τῇ ΚΕ γίνεσθαι ἴσην.