Synagoge

18 θ΄. Τούτων προγραφέντων τὸ προκείμενον δείξομεν, τουτέστιν ὅτι τῶν ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλενρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον.

Ἔστω γὰρ πολύπλευρον τὸ ΑΒΓ∠Ε μέγιστον τῶν ἰσοπερι ?? μέτρων αὐτῷ καὶ ἰσοπληθεῖς πλευρὰς ἐχόντων· λέγω ὅτι ἰσό όπλευρόν ἐστιν. μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ ΑΒΓ ἄνισοι, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, ἐφ ἧ συνεστάτω τρίγωνον ἰσοσκελς τὸ ΑΖΓ, ὥστε συναμφοτέρας τὰς ΑΖΓ ἴσας εἶναι συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ διὰ τὸ δ΄. ἐπεν οὖν πρὸ τριῶν ἐδείχθη ὅτι τῶν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ἰσοπε ριμέτρων τριγώνων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, μεῖζον ἄρα τὸ ΑΖΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓ∠Ε τετραπλεύρου ἔσται τι χωρίον τὸ ΖΓ∠ΕΑ τοῦ ΑΒΓ∠Ε μεγίστου, ἰσοπερίμετρον αὐτῷ καὶ ἰσαρίθμους πλευρὰς ἔχον, μεῖζον, ὅπερ ἀδύνατον· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ∠Ε. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἰσοπλευρότερον ἀεὶ [*](2. ἐὰν ἡ S, εανη ἡ A, ἐὰν ᾐ ἡ B 9. 10. μεῖζον ἐστι (sic) Α 12. Θ A1 in marg. (BS) 24. τὰ ΑΖΓ A, corr. BS 26. πρὸ τρῶν, non πρὸ τεττάρων scriptor et hoc loco et paulo post numerat, quis)

19 ι΄. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρον. μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστω ἡ Β γωνία τῆς ∠ μείζων. καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς ΓΕ ἄρα μείζων (ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒΓ Γ∠Ε). συνεστάτω ἐπὶ τῶν ΑΓ ΓΕ ἀνίσων ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα, ὡς πρὸ ἑνὸς ἐδείχθη, τὰ. ΑΖΓ ΓΗΕ τὰς ΑΖΓ ΓΗΕ πλευρὰς συναμφοτέρας ἴσας ἔχοντα συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ Γ∠Ε. μείζονα δὴ ἔσται τὰ συσταθέντα τὰ ΑΖΓ ΓΗΕ ἅμα τῶν ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ Γ∠Ε· καὶ τοῦτο γὰρ δέδεικται πρὸ δύο. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓΕ τριγώνου ἔσται τὸ αὐτὸ ἄτοπον τὸ γὰρ ΑΖΓΗΕ μεῖζον ἔσται τοῦ ΑΒΓ∠Ε μεγίστου καὶ ἰσοπεριμέτρου αὐτῷ. καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρον τῶν ἄρα ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον.

Καὶ δῆλον ὅτι μέγιστος πάντων τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ὁ κύκλος, ἐπειδὴ τοῦ ἰσοπεριμέτρου τεταγμένου σχήματος, ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, ἐδείχθη μείζων.

20 ια΄. Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν τοῖς προειρημένοις θεωρίας καὶ τοῦτο. τῶν ἴσην ἐχόντων περιφέρειαν κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον. δείξομεν δὲ τοῦτο προγράψαντες πρότερον τὰ εἰς αὐτὸ λαμβανόμενα.

21 Αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.

Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ Γ∠, καὶ διάμετροι αὐτῶν αἱ ΑΒ Γ∠· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια [*](3. ῖ A1 in marg. (BS) πολύπλευρον Hu pro πεντάπλευρον, item vs. 14 4. γὰρ S, om. AB 12. τὸ γὰρ ΑΖΓ ΗΕ A, coniunx. BS 17. ὀρθογώνιον ABS, corr. Hu auctore Co 18. τῶν B1 S, om. A, del. B3 22. ῑᾱ A1 in marg. (BS) 25. αὐτὰ ABS, corr. Hu auctore Co)

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν Γ∠ ΓΑ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠, ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστι τὸ περιεχύμενον όρθογώνιον ὑπό τε τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, τοῦ δὲ Γ∠ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ὐπὸ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς Γ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ τοῦ Γ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιρέρεια πρὸς τὴν τοῦ Γ∠ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠.

22 ιβ΄. Τοῦτο ἀποδείκνυται καὶ χωρὶς τοῦ λαβεῖν ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιφερείας τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ κύκλου. τά γὰρ ἐγγραφόμενα τοῖς κύκλοις ἢ περιγραφύμενα ὅμοια πολύγωνα τὰς περιμέτρους ἔχει λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων, ὥστε καὶ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.

23 Πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠, ἐκ τοῦ κέντρου δὲ αὐτοῦ ἡ ∠Β, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ διήχθω τις ἡ ∠Ε· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα.

Εἰ μὲν οὖν σύμμετρύς ἐστιν ἡ ΒΖΕ περιφέρεια τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ τοῦ κύκλου, ἐπεὶ διαιρεθείσης εῆς ΑΒΓ περιμέτρου τοῦ κύκλου εἷς τὰ μέτρα καὶ ἀπὸ τῶν τῆς διαιρέσεως σημείων ἐπὶ τὸ ∠ κέντρον ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν [*](2. εὐθεῖα] διάμετρος Pappus VIll cap. 46 πρὸς BS, om. A 10. κύκλου et 11. Γ∠ add. Hu auctore Co 12. καὶ ἐναλλὰξ —)

24 εἰ δὲ μὴ ἔστιν σύμμετρος τῇ ΒΖΕ περιφρείρ, ὐμοίως ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περμετρος πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν. ἔστω, εἶ δυνατόν, ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περφιετρος ἀετοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν πρότερον ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας, καὶ εἰλήφθω τις ἑτέρα περιφέρεια ΒΗ τῆς μὲν ΒΖ μείζων τῆς δὲ ΒΖΕ ἐλάσσων, σύμμετρος δὲ οὖσα τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ ὡς ἔστιν λῆμμα σφαιρικῶν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Η. ἔστιν οὖν διὰ τὰ προειρημένα καὶ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Η τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΗ περι ειαν. ἀλλὰ ἡ ΑΒΓ περίμεπρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν Η περιψέρειαν ἐλάσσονμ λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τήν ΒΖ περιφέρειαν, τουτέσειν ἥπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα· καὶ ὁ ΑΒΓ οὖν κύκλος πρὸς τὸν Β∠Η τομέα ἐλάσσονα λόγον ἓξει ἤπερ πρὸς τὸν Α∠Ε τομέα, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Α∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὑτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας.

25 λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς τὴν ΒΕΤ περιφέρειαν, καὶ εἰλήφθω τις ὁμοίως ἡ ΒΕΘ περιφέρεια τῆς μὲν ΒΖΕ περιφερείας μείζων τῆς δὲ ΒΕΓ περιφερείας ἐλάσσων, σύμετρος δὲ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον τοῦ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Θ. ἐπεὶ οὖν πάλιν ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Θ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύἰέ [*](4. 5 τοῦ ἐ στοιχειωεν A(Β) , διὰ τὸ ιε τοῦ ε τῶν στοχείων S, interpolatori tribuit Hu 6. ὁμοίως ἐστὸν Co pro μηδὲ ἐστιν 15. πρὸς τὸν κΛΗ AΒ, corr. S 17. πρὸς τὴν ΕΖΗ ABS, corr. Co 19. οὖν] ἄρα coni. Hu 23. BZ om. Co ante οὖσαν super vs. add. λόγον ἔχει A4, eadem codex Co habet pro οὖσαν τῆς ΒΕΖ et 24. τῆς ΒΕ ABS, corr. Co)

26 ιγ΄. Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν κύκλων πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν βάσεων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, καὶ αἱ περιφέρειαι δὲ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.

Ἐστω ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ λέγω ὅτι ὡς μὲν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ∠ΕΖ , οὕτως τὸ ἀκὸ τῆς ΑΓ τετράγμωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, ὡς δὲ ἡ ΑΒΓ πιριφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ∠Ζ.

Προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ κύκλοι, καὶ εἰλήφθω αὐτῶν κέντρα τὰ Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗΓ ΔΘΖ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐσειν τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ τμήματα, ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Η γωνία τῇ πρὸς τῷ Θ, καὶ ὅμοιον τὸ ΑΗΓ τρίγπωνον τῷ ∠ΘΖ , καὶ ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ὁμοία τῇ ∠ΕΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα, οὕτπως ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν, τουτέστιν δ΄ ῥρθαὶ πρὸς τὴν Η γωνίαν. ὡς δὲ ὁ ∠ΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ ∠ΕΖ κύκλου πρὸς τὴν ∠ΕΖ περιφέρειαν, τουτέσετν δʼ ῤρθαὶ πρὸς τὴν Θ γμωνίαν. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ Θ γωνία τῇ [*](5. τὸν (ante Β∠Θ) om. A, add. BS 8. τῆς ΒΖΕ περιᾳερείας ABS, corr. Hu auctore Co 11. IF A1 in marg. (BS) 16. ἀπὸ τῆς ∠ΕΖ ABS, corr. Co Sca 17. περᾳέρεια add. Hu auctore Co 19. πὰ ΗΘ A, distinx. 38 αἱ ΑΗΓ ∠ΕΖ ABS, corr. Sca (Co) 21. τὸ ΑΒΓ η τρίγωνον A (in archetypo gitur pro Β correctum erat Η), τὸ βγη τρῦγωνον BS, corr. Co Sca 23 τὸν ΑΗ ΓΒ A, coniuax. BS 26, ∠ΘΖΕ τομέα ρὕτ?? Α2 ex sθνί ∠Θ 27 πρὸς τὴν ∠ΒΖ ABS, corr. Co Sca τουτέστιν Ηυ pro καὶ)

27 Λέγω δὴ ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ∠ΕΖ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ. ὡς δὲ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ∠Θ, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠Ζ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ· πρὸς τὴν ∠Ζ.

28 ιδ΄. Ἔστωσαν δύο κύκλοι καὶ πρὸς τοῖς κέντροις οὐτῶν ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ ∠ΕΖ περιεχύιιεναι, καὶ ἐφαπτύμεναι μὲν αἰ ΑΗ ∠Θ, κάθετοι δὲ αἰ ΑΚ ∠Λ δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον, οὕτως καὶ τὸ ∠ΘΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΖΛ τρίγρεμμον.

Ἔστι δέ φανερὸν ἐκ τοῦ προγεγραμμένου. ὅμοιον γὰρ γίνεται τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ∠ΘΛ, καὶ τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον τῷ ∠ΖΛ τριγράιιμῳ , καὶ λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα ἑκάτερον

29 ιέ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ Α∠, ὀρθὴ δέ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Β γωνία δεῖξαι ὅτι ὁ Α∠Γ τομεὺς πρὸς τὸ μεὺςΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓΑ περιεχομένην.

Ηχθὼ τῇ ΓΑ ὀρθὴ ἡ ΖΑ (ἐφάπτεται ἄρα τῆς Α∠ περιφερείας), καὶ διὰ τοῦ Β περὶ κέντρον τὸ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΒΗ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΖ ἤχθα ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΕΒΖ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον ἤπερ πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα , καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΘΒ τρίγραμμον ἤπερ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, ὡς δὲ τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον, οὕτως τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Β τρίγραμμον διά τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ΕΑΒ ΑΓ∠ γωνίας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, κείζων ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς τοῦ ∠ΑΒ τριγραμμου μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΕΑΒ τομεὺς ρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα ἤπερ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα. τὸ δὲ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· πολλῷ ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. ὡς δὲ ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν BAH τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ. καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΕ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. καὶ ἀνάπαλιν τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ [*](3. ιε Α1 in marg. (BS) 5. δείξη AB, corr. S 12. πρὸς τὸν ΘΕΑΒ ABS, corr. Co 23. πρὸς τὸν ΑΒΗ BS, corr. Hu (πρὸς τὸν ΒΑΗ voluit Co) 24. ἢ πρὸς Hu auctore Co pro ἥπερ 25. πρὸς τὸν BAH] in A littera punctis notata est)

30 ιϚ΄. Ἔστω πάλιν ὀρθογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ δμὼ τοῦ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ Α∠· λέγω ὅτι ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ∠.

Ἤχθω τῇ ΑΓ ὀρθὴ ἡ ΑΕ, καὶ ἐκθεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου περὶ κέντρον τὸ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΕΓΖ. ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν ἐκ τοῦ κέντρου τὴν ΓΑ γεγρσμμέναι εἰσὶν αἱ περιφέρειαι, φανερὸν ὅτι ἴσων εἰσὶ κύκλων. καὶ μείζαων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΓ∠ τομεὺς τοῦ ΑΓΕ τομέως· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸ αὐτὸ τρίγωνον, καὶ πολὺ μᾶλλον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΓΖ τομέα. ὡς δὲ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΓΑΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς νὴν ὑπὸ ΓΑΖ. καὶ ὁ ΑΓ∠ ἄρα τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΑΖ. καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἀναστρέψαντι μείζονα λόγον ἔχει ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ∠ τρίγραμμον ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΑΖ , τουτέστιν ἤπερ ὀρθὴ πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ∠ (ἔστιν γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΑΖ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓ∠, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓ∠ ἴση ἐστὶν ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΑ καὶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ).

31 ιξ΄. Τούτων πρθγεγραμμένων τὸ προκείμενον θεμωρηφα συγκρινικὸν ὑπάρχον δείξομεν οὕτως.

Ἔστω δύο τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΑΒΓ ∠ΕΖ περιφερείας, καὶ ἔστω ἡμικύκλιον μὲν τὸ ΑΒΓ, τὸ δὲ Ε∠Ζ πρότερον ἔλαττον ἡμικυκλίου λέγω ὃτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ἡμικόκλιον τοῦ τμήματος.

Εἰλήφθω κέντρα τῶν κύκλων τὰ Η. Θ, καὶ ὀρθὴ μὲν ἡ ΗΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ζ ἡ ΘΚΕ, καὶ τῇ ∠Ζ παράλληλος ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΛΘ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ (αἱ γὰρ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι), ἴση δὲ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ∠Ε, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΕ πιριφέρεια πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΑΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΛ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠Ε, ὁ ΛΘΕ τομεύς πρὸς τὸν ΕΘ∠ τομέα. καὶ ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλασίονα λόγον τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς ΗΑ, τὸ δέ ἀπὸ τῆς ΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, τουτέστιν ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ, διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΛΕΘ τομεύς πρὸς τὸν ∠ΕΘ τομέα· τῶν ἄρα ΛΕΘ ΑΒΗ τομέων μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ὁ ∠ΕΘ τομεύς. καὶ ἐπεὶ ἔχει διὰ τὸ προδειχθὲν λῆμμα μείζονα λόγον ὁ Ε∠Θ τομεὺς πρὸς τὸ Ε∠Κ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΕ, τουτἐστιν ἥπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ, ὡς δὲ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ, οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα, ὁ ἄρα ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΕΚ τρίγραμμον μείζονα [*](1. ιζ Α1 in marg. (BS) 7. τὰ ΗΘ A, distinx. BS 10. ἡ (ante ΑΘ) om. A, add. BS 13. περιφέρειμ add. Hu auctore Co 14. ὡς δἐ ᾗ Ε∠ ABS, corr. Sca (ὡς δὲ ἡ ΛΕ voluit Co) 14. 15. πρὸς τὴν ∠Ε AΒ, πρὸς λε S, sed πρὸς σῆ corr. Sca 17. τοῦ τῆς ∠ΘΛ (anle πρὸς ΗΑ) ABS cod. Co, τοῦ τῆς ΛΘ Co, corr. Sca δὲ] ἄρα Co ἀπὸ τῆς ∠Θ ABS cod. Co, ἀπὸ τῆς ΛΘ Co, corr. Sca 18. ὁ ΛΕΘ ΑΒ Paris. 2368 Co, corr. S διπλασίονα BS, β A 20. μέσον S 23. τὴν add. Hu 25. 26. πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα add. Scα (item Co, aisi quod ABH) 26. ὁ ἄρα ∠ΘΕ τομεὺς add. Co (item Sca, nisi quod E∠Θ)

32 ιή. Ἔστω δὴ πάλιν τὸ ∠ΕΖ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου λέγω ὅτι καὶ οὕτως μεῖζόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον.

Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτά. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν κλίουΘΕ, οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ (ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒ ∠Ε περιφέρειαι). καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ δύο λῆμμα μείζονα λόγον ἔχει ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΚΕ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΕ, τουτέστιν ἥπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ, ἔσται μείζων ὁ ΑΗΒ τομεὺς τοῦ ∠ΕΚ τριγράμμου. καὶ τὰ διπλάσια· μεῖζον ἔρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ ∠ΕΖ τμήματος· πάντων ἄρα τῶν ἴσας ἐχόντων τάς περιφερείας κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἡμικύκλιον.

Περὶ τῶν στερεῶν.

33 τθ΄. Τὸν πρῶτον καὶ δημιουργὸν τῶν πάντων θεὸν οἱ φιλόσοφοί φασιν εἰκότως τῷ κόσμῳ σχῆμα περιθεῖναι σφαιρικὸν ἐκλεξάμενον τῶν ὄντων τό κάλλιστον , τά τε προσόντα τῇ σφαίρᾳ φυσικὰ συμπτώματα λέγοντες ἔτι καὶ τοῦτο προστιθέασιν ὅτι πάντων τῶν στερεῶν σχημάτων τῶν ἴσην ἐχόντων τὴν ἐπιφάνειαν μεγίστη ἐστὶν ἡ σφαῖρα. τἄλλα μὲν οὖν ὅσα προσεῖναι λέγουσιν αὐτῇ πρόδηλά τέ ἐστιν καὶ παραμυθίας ἐλάσσονος δεῖται, τὸ δʼ ὅτι μείζων ἐστὶ τῶν ἄλλων σχημάτων οὔδʼ οἱ φιλόσοφοι δεικνύουσιν, ἀλλʼ ἀποφαίνονται μόνον, οὕτε παραμυθήσασθαι ῥᾴδιον ἄνευ θεωρίας πλείονος. φέρʼ οὖν, ὥρπερ ἐν τοῖς πρόσθεν [*](5. ΙΗ A1 in marg. (BS) 10. πρὸ δύο Hu, β A, δεότερον BS 15. μείζονα ἄρα A, corr. BS 16. τοῦ ∠Ε ΑΒ, corr. S 19, πεῖ στερεων add. Α3 in marg (BS) 20. ΙΘ A1 in marg. (BS) 22. 23, τὰ δὲ προσόνεα coni Hu 24, σχημέτωων om, Ei 26 τἄλλα Hu: pro τὰ ἄλλα)

34 πρότερον δὲ περὶ τῶν στερεῶν κὐτῶν, πρὸς ἃ δεῖ συγκρίνειν τὴν σφαῖραν, ὀλίγα προδιαληψόμεθα· πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα, μᾶλλον δʼ ἄν τις ἀξιώσειε λόγου τὰ τετάχθαι δοκοῦντα καὶ τούτων πολὺ πλέον τούς τε κώνους καὶ κυλίνδρους καὶ τὰ καλούμενα πολύεδρα. ταῦτα δʼ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρά τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα, τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἔξάεδρον, ὀκτάεδρύν τε καὶ δωδεκάεδρον, πέμπτον δʼ εἶκοσάεδρον, ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων περιεχόμενα.

τὸ μέν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγύνων δ΄ καὶ ἑξαγώνων δ΄ .

τρία δέ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγμνοις η΄ καὶ τετραγώνοις ς΄, τὸ δέ δεύτερον τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η΄ , τὸ δέ τρίτον τριγώνοις η΄ καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄.

μετὰ δέ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο , ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η΄ καὶ τετραγμώνοις ιη΄ , τὸ δέ δεύτερον τετραγώνοις β΄, ἑξαγώνοις η΄ καὶ όκταγώνοις Ϛ΄.

μετὰ δέ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία, ὧν τὸ μέν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ΄ καὶ πενταγώνεις ιβ΄, [*](1, εὕρομεν A2 ex εὕρωμεν 5. στερεῶν alterum om. S Εὶ 8. μᾶλλον ἂν, deleto δʼ, vel μᾶλλόν γʼ ἂν coni. Hu 9. λόγον S Εἰ τὰ add. Ηu auctore Co 9, 10. καὶ τούεων — πολύεδρα interpolatori tribuit Hu 18. τριγώνων ∠ A, τριγώνων εεσσάρων Β, τεσσάρων τριγώνων S δʼ alterum] ∠ A (ac similiter posthac, lineola super numerorum Detas ducta), τεσσάρων BS (ac similiter posthac B saepius, S fere constaner pro uolis numeralibus) 19, τρία S, δύο AB 20. τετραγώνοις Εὶ pro ὀκταγαώνοις 22, κταγώνοις Εὶ pro τετραγαένοες 23. Ϛ κειεικοσκεδρα sine acc.) A, ἓξ καὶ εκοσάεδρά Β, ἐξκαιεπποσάερέ S Εὶ; corr. Hu 25. δεύτερον BS, βʼ A, Item p 354, 1 26. δύο καὶ Ἀρισκον-)

μετὰ δὲ ταῦτα ἓν ἐστιν ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιὑπὸ τριγμώνων λβ΄ καὶ τετραγώνων Ϛ΄ .

μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ΄ καὶ τετραγώνοις λ΄ κεὶ πενταγώνοις ιβ΄, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ΄ καὶ ἔξαγώνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄.

μετὰ δέ ταῦτα τελευῖόν ἐστιν δυοκατενενηκοντάεδρον, ὃ περιέχεται τριγώνοις π΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄.