Fragmenta

λε΄. Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ, ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ∠Ε κάθετος, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΑΝ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ ὅτι πάλιν, οἷον ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΔ σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνεται, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ.

εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΜΘ. ἐπεὶ δὲ ὀρθή ἔστιν ἑκατέρα τῶν Μ, Ζ γωνιῶν, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Ε, Ζ, Λ, Μ σημεῖα· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ διὰ τὸ εἶναι, [*](20. πάλιν] ut in lemmate XXXIII.)

λϚ΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ Γ∠, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ∠Η ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΗΒ.

εἰλήφοθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ, Ζθωσαν ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ Ζ∠· ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Ζ∠ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ τετράγωνα, τῷ δὲ ἀπὸ ∠Ζ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ∠Η, ΗΖ τετράγωνα· καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ ἄρα τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, Η∠ τετραγώνοις. ὧν τὸ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Η τετραγώνῳ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ ἐστὶν ἴσον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΖΒ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ λοιπῇ τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

λζ΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Γ διήχθω ἡ Γ∠, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ∠Ε ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ, καὶ τῆς ΑΕ.

ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ∠Γ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ ∠Ε, ΕΓ καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς [*](2. τετμῆσθαι τὴν] susp. Hultsch, τέτμηται ἡ cod. 5. προγεγραμμένον] lemma XXXIV extr. 25 ὅπερ ἔδει δεῖξαι] ο cod, ὅπερ: ~ Hultsch.)

λή. Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ Α∠ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ.

γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ Α∠ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου, καὶ τὸ ΖΓΗ ἄρα τρίγωνον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου. ὡς δὲ τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρέγωνον, διὰ τὸ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Γ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓ∠. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓ∠ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΗ. καὶ δο- [*](1. ΑΓΒ] ΑΓ ΓΒ Hultsch cum Commandino. 19. περὶ] εἶναι περὶ Bultsch. 22 δοθέντος] ἀπὸ δοθέντος Hultsch cum Commandino.)

συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἔστω τὸ μὲν τῇ θέσει παραλληλόγραμμον τὸ Α∠, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Ε. διήχθω ἀπὸ τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΖΓΗ εὐθεῖα ἡ ΕΖ ἀποτέμνουσα χωρίον τὸ ΖΓΗ ἴσον δοθέντι χωρίῳ τῷ διπλασίονι τοῦ ΑΓ∠. καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῇ ἀναλύσει δείξομεν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ· ἡ ΕΖ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. φανερὸν οὖν, ὅτι μόνη, ἐπεὶ κἀκείνη μόνη.

7. Pappus Συναγ. VII 3 p. 636, 23 (inter opera ad τόπον ἀναλυόμενον pertinentia loco undecimo, cfr. fr. 5): Κὐκλείδου Τόπων πρὸς 1) ἐπιφανείᾳ δύο. cfr. Studien über Euklid p. 79 sqq., Zeuthen Die Lehre von den Κegelschnitten in Altertum p. 423 sqq.

α΄. Ἐὰν ᾖ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ παρὰ θέσει ἡ Γ∠, καὶ ᾖ λόγος τοῦ ὑπὸ Α∠Β πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ, τὸ Γ ἅπτεται κωνικῆς γραμμῆς. ἐὰν οὖν ἡ μὲν ΑΒ στερηθῇ τῆς θέσεως, καὶ τὰ Α, Β στερηθῇ τοῦ δοθέντα εἶναι, γένηται δὲ πρὸς θέσει εὐθείαις ταῖς ΑΕ, [*](1) πρὸς] τῶν πρὸς Hultsch.) [*](1. εἰς (alt.)] ἡ ΕΖ εἰς Hultsch cum Commandino. 5. ΖΓΗ] ΖΓ Γ∠ Hultsch cum Commandino. 6. τὸ] τὸ ὑπὸ cod., Hultsch. 7. τοῦ] τοῦ ὑπὸ cod., Hultsch. 19. α΄] hoc lemma explicauit Tannery Bulletin des sciences mathém. 2° série VI p. 149, figuram dedit Ζeuthen Kegelsch. p. 424. 25. δοθέντα] δοθέντος cod., Hultsch. εὐθείαις] Tannery, εὐθεῖα cod., Hultsch.)