Syntaxis mathematica

Τὰς μὲν οὖν πρώτας ἐννοίας περὶ τούτων ἀπὸ τοιαύτης τινὸς παρατηρήσεως τοῖς παλαιοῖς εὔλογον παραγεγονέναι· ἑώρων γὰρ τόν τε ἥλιον καὶ τὴν σελήνην καὶ τοὺς ἄλλους ἀστέρας φερομένους ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δυσμὰς αἰεὶ κατὰ παραλλήλων κύκλων ἀλλήλοις καὶ ἀρχομένους μὲν ἀναφέρεσθαι κάτωθεν ἀπὸ τοῦ ταπεινοῦ καὶ ὥσπερ ἐξ αὐτῆς τῆς γῆς, μετεωριζομένους δὲ κατὰ μικρὸν εἰς ὕψος, ἔπειτα πάλιν κατὰ τὸ ἀνάλογον περιερχομένους τε καὶ ἐν ταπεινώσει γιγνομένους, ἕως ἂν τέλεον ὥσπερ ἐμπεσόντες εἰς τὴν γῆν ἀφανισθῶσιν, εἶτʼ αὖ πάλιν χρόνον τινὰ μείναντας ἐν τῷ ἀφανισμῷ ὥσπερ ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς ἀνατέλλοντάς τε καὶ δύνοντας, τοὺς δὲ χρόνους τούτους καὶ ἔτι τοὺς τῶν ἀνατολῶν καὶ δύσεων τόπους τεταγμένως τε καὶ ὁμοίως ὡς ἐπίπαν ἀνταποδιδομένους.

μάλιστα δὲ αὐτοὺς ἦγεν εἰς τὴν σφαιρικὴν ἔννοιαν ἡ τῶν αἰεὶ φανερῶν ἀστέρων περιστροφὴ κυκλοτερὴς θεωρουμένη καὶ περὶ κέντρον ἕν καὶ τὸ αὐτὸ περιπολουμένη· πόλος γὰρ ἀναγκαίως ἐκεῖνο τὸ σημεῖον [*](1. δʼ| δέ D. 2 προδιελευσόμεθα D. 3 γ΄] B, om ACD, κεφ γ D2. σφαιροειδῶς ὁ οὐρανός] σφαιροειδὴς ὁ οὐρανὸς καὶ σφαιροειδῶς D. 7. φερομένους] φαινομένους BC, corr. C2. 8 ἀεί D. 13. γινομένους D. ἕως] ὡς BC, corr C2. ὥσπερ] ὥσπερ πάλιν D. 14 πάλιν] π- e corr. A, om. D. 15 μείναντες D, corr D3. ὥσπερ] πάλιν ὥσπερ D.) [*](16. δέ] δ- in ras. A. 17. δύσεων] δυσμῶν D, supra μ ras.) [*](18. ὡς] om D, καὶ ὡς supra scr D3. 20 δέ] δʼ D. 21. ἀεί CD. ἄστρων D.)

ἐγίνετο τῆς οὐρανίου σφαίρας τῶν μὲν μᾶλλον αὐτῷ πλησιαζόντων κατὰ μικροτέρων κύκλων ἑλισσομένων, τῶν δʼ ἀπωτέρω πρὸς τὴν τῆς διαστάσεως ἀναλογίαν μείζονας κύκλους ἐν τῇ περιγραφῇ ποιούντων, ἕως ἂν ἡ ἀπόστασις καὶ μέχρι τῶν ἀφανιζομένων φθάσῃ, καὶ τούτων δὲ τὰ μὲν ἐγγὺς τῶν αἰεὶ φανερῶν ἄστρων ἑώρων ἐπʼ ὀλίγον χρόνον ἐν τῷ ἀφανισμῷ μένοντα, τὰ δʼ ἄπωθεν ἀναλόγως πάλιν ἐπὶ πλείονα· ὡς τὴν μὲν ἀρχὴν διὰ μόνα τὰ τοιαῦτα τὴν προειρημένην ἔννοιαν αὐτοὺς λαβεῖν, ἤδη δὲ κατὰ τὴν ἐφεξῆς θεωρίαν καὶ τὰ λοιπὰ τούτοις ἀκόλουθα κατανοῆσαι πάντων ἀπλῶς τῶν φαινομένων ταῖς ἑτεροδόξοις ἐννοίαις ἀντιμαρτυρούντων.

φέρε γάρ, εἴ τις ὑπόθοιτο τὴν τῶν ἀστέρων φορὰν ἐπʼ εὐθείας γινομένην ἐπʼ ἄπειρον φέρεσθαι, καθάπερ τισὶν ἔδοξεν, τίς ἂν ἐπινοηθείη τρόπος, καθʼ ὃν ἀπὸ τῆς αὐτῆς ἀρχῆς ἕκαστα καθʼ ἡμέραν φερόμενα θεωρηθήσεται; πῶς γὰρ ἀνακάμπτειν ἐδύνατο τὰ ἄστρα ἐπʼ ἄπειρον ὁρμώμενα; ἢ πῶς ἀνακάμπτοντα οὐκ ἐφαίνετο; ἢ πῶς οὐχὶ κατʼ ὀλίγον μειουμένων τῶν μεγεθῶν ἠφανίζετο, τοὐναντίον δὲ μείζονα μὲν ὁρώμενα πρὸς αὐτοῖς τοῖς ἀφανισμοῖς, κατὰ μικρὸν δὲ ἐπιπροσθούμενα καὶ ὥσπερ ἀποτεμνόμενα τῇ τῆς γῆς ἐπιφανείᾳ; ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ἀνάπτεσθαί τε αὐτὰ ἐκ τῆς γῆς καὶ πάλιν εἰς ταύτην ἀποσβέννυσθαι τῶν ἀλογωτάτων ἂν φανείη παντελῶς. ἵνα γάρ τις συγχωρήσῃ [*](3. δʼ] δέ D. ἀπωτέρω] ἀπωτέρωι AC, ἀποτέρωι B, ἀπωοτέρω D3. 6. ἀεί CD. 8 δʼ] mut in δέ D2. ἄπωοθεν D3.) [*](14. ἀστέρων] corr. ex ἄστρων D2. 16. ἔδοξε D. 18 ἐδύνατο] ἐ- in ras. A, ἐδύνατο D. 22 κατά] corr. ex κα A2. 24 ἀλλα μὴν καί] in ras. D. 25 ταύτην] αὐτήν D. ἀλογοτάτων B. )

τὴν τοσαύτην τάξιν ἔν τε τοῖς μεγέθεσιν καὶ ταῖς ποσότησιν αὐτῶν, ἔτι δὲ διαστήμασιν καὶ τόποις καὶ χρόνοις οὕτως εἰκῇ καὶ ὡς ἔτυχεν ἀποτελεῖσθαι, καὶ τόδε μὲν πᾶν τὸ μέρος τῆς γῆς ἀναπτικὴν ἔχειν φύσιν, τόδε δὲ σβεστικήν, μᾶλλον δὲ τὸ αὐτὸ τοῖς μὲν ἀνάπτειν, τοῖς δὲ σβεννύναι, καὶ τῶν ἄστρων τὰ αὐτὰ τοῖς μὲν ἤδη ἀνημμένα ἢ ἐσβεσμένα τυγχάνειν, τοῖς δὲ μηδέπω, εἴ τις, ψημί, ταῦτα πάντα συγχωρήσειεν οὕτως ὄντα γελοῖα, τί ἂν περὶ τῶν αἰεὶ φανερῶν ἔχοιμεν εἰπεῖν τῶν μήτε ἀνατελλόντων μήτε δυνόντων; ἢ διὰ ποίαν αἰτίαν οὐχὶ τὰ μὲν ἀναπτόμενα καὶ σβεννύμενα πανταχῆ καὶ ἀνατέλλει καὶ δύνει, τὰ δὲ μὴ πάσχοντα τοῦτο πανταχῆ ἐστιν αἰεὶ ὑπὲρ γῆς; οὐ γὰρ δή γε τὰ αὐτὰ τοῖς μὲν αἰεὶ ἀναφθήσεται καὶ σβεσθήσεται, τοῖς δὲ οὐδὲν οὐδέποτε τούτων πείσεται, παντάπασιν ἐναργοῦς ὄντος τοῦ τοὺς αὐτοὺς ἀστέρας παρὰ μέν τισιν ἀνατέλλειν τε καὶ δύνειν, παρʼ ἄλλοις δὲ μηδέτερον.

συνελόντι δʼ εἰπεῖν, κἂν ὁποῖόν τις ἄλλο σχῆμα τῆς τῶν οὐρανίων φορᾶς ὑπόθηται πλὴν τοῦ σφαιροειδοῦς, ἀνίσους ἀνάγκη γίγνεσθαι τὰς ἀπὸ τῆς γῆς ἐπὶ τὰ μέρη τῶν μετεώρων ἀποστάσεις, ὅπου ἂν αὐτὴ καὶ ὡς ἂν ὑποκέηται, ὥστε ὀφείλειν καὶ τά τε μεγέθη καὶ τὰ πρὸς ἀλλήλους διαστήματα τῶν ἀστέρων ἄνισα [*](2. διαστήμασι C. 3. εἰκῇ] εἰκ- in ras D. 4 ἔχειν] corr. ex ἔχει B1. 8. συγχωρείσειεν C, sed corr ; -ρήσει- in ras A.) [*](9. ἀεί CD. 10 δυνόντων] alt. ν ins. D2. 13 ἀεί D. 14. ἀεί D. 16 ὄντος] corr. ex ὄντως D. 19. δʼ] δέ D. 20. Post οὐρανίων ras. 1 litt. D. φορᾶς] corr. ex φωρᾶς D; similia posthac non notabo. ὑποτίθεται D, -τί- eras 21. γίνεσθαι D.) [*](22. ὅπου — 23. ὑποκέηται] in mag sup add. D, mg D3.) [*](23. καί ( pr.)] καί CD. ὑποκέηται] corr. ex ὑποκαίηται C2, ὑπόκειται D. τε] om D. 24. ἄλληλα D.)

φαίνεσθαι τοῖς αὐτοῖς καθʼ ἑκάστην περιφορὰν ὡς ἂν ποτὲ μὲν ἐπὶ μείζονος, ποτὲ δʼ ἐπὶ ἥττονος γιγνόμενα διαστήματος, ὅπερ οὐχ ὁρᾶται συμβαῖνον. ἀλλὰ γὰρ καὶ τὸ πρὸς τοῖς ὁρίζουσιν μείζονα τὰ μεγέθη φαίνεσθαι οὐχ ἡ ἀπόστασις ἐλάττων οὖσα ποιεῖ, ἀλλʼ ἡ τοῦ ὑγροῦ τοῦ περιέχοντος τὴν γῆν ἀναθυμίασις μεταξὺ τῆς τε ὄψεως ἡμῶν καὶ αὐτῶν γιγνομένη, καθάπερ καὶ τὰ εἰς ὕδωρ ἐμβληθέντα μείζονα φαίνεται, καὶ ὅσῳ ἂν κατωτέρω χωρῇ, τοσούτῳ μείζονα. προσάγει δʼ εἰς τὴν σφαιρικὴν ἔννοιαν καὶ τὰ τοιαῦτα τό τε μὴ δύνασθαι κατʼ ἄλλην ὑπόθεσιν τὰς τῶν ὡροσκοπίων κατασκευὰς συμφωνεῖν ἢ μόνην ταύτην, καὶ ὅτι τῆς τῶν οὐρανίων φορᾶς ἀκωλύτου τε καὶ εὐκινητοτἅτης ἁπασῶν οὔσης καὶ τῶν σχημάτων εὐκινητότατον ὑπάρχει τῶν μὲν ἐπιπέδων τὸ κυκλικόν, τῶν δὲ στερεῶν τὸ σφαιρικόν, ὡσαύτως δʼ ὅτι, τῶν ἴσην περίμετρον ἐχόντων σχημάτων διαφόρων ἐπειδὴ μείζονά ἐστιν τὰ πολυγωνιώτερα, τῶν μὲν ἐπιπέδων ὁ κύκλος γίνεται μείζων, τῶν δὲ στερεῶν ἡ σφαῖρα, μείζων δὲ καὶ ὁ οὐρανὸς τῶν ἄλλων σωμάτων.

οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ ἀπὸ φυσικῶν τινων ἔστιν ὁρμηθῆναι πρὸς τὴν τοιαύτην ἐπιβολήν· οἷον ὅτι τῶν [*](1. φαίνεσθαι] corr. ex φέρεσθαι D3. ὡς] inter ὡ et ς ras. parua D. 2. δʼ] δέ D. γινόμενα CD. 3. διαστή- ματος] corr. ex διαστημάτων D3. οὐχ] corr. ex οὐκ D3. Ante ἀλλά ras. 1 litt. D. 4. ὁρίζουσι D. 7. τε] om. D. γινο- μένη CD. 9. κατωτέρωι BC. χωρῇ] corr. ex χωρεῖ D3.) [*](μείζοναι BC, corr. B1. 10. δʼ] δέ CD. εἰς] ins. D2.) [*](11. κατά D. 12 ὡροσκοπίων] C2D3, ὡροσκοπιῶν ABCD2, ὁροσκοπιῶν D. 14. εὐκινηκοτάτης C, εὐκινητικωτάτης C3.) [*](καί] corr. ex κατά D3. 15. ὑπάρχει] mut. in ὑπάρχεῖ D3.) [*](τῶν] corr. ex τό C2. ἐπιπέδων] corr. ex ἐπιπέλων C2. 18. ἐστι B. πολυγωνότερα D, corr. D2.)

σωμάτων πάντων λεπτομερέστερος καὶ ὁμοιομερέστερός ἐστιν ὁ αἰθήρ, τῶν δὲ ὁμοιομερῶν ὁμοιομερεῖς αἱ ἐπιφάνειαι, ὁμοιομερεῖς δὲ ἐπιφάνειαι μόναι ἥ τε κυκλοτερὴς ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ ἐν τοῖς στερεοῖς ἡ σφαιρική· τοῦ δὲ αἰθέρος μὴ ὄντος ἐπιπέδου, ἀλλὰ στερεοῦ, καταλείπεται αὐτὸν εἶναι σφαιροειδῆ. καὶ ὁμοίως, ὅτι ἡ φύσις τὰ σώματα πάντα τὰ μὲν ἐπίγεια καὶ φθαρτὰ ὅλως ἐκ περιφερῶν, ἀνομοιομερῶν μέντοι σχημάτων συνεστήσατο, τὰ δʼ ἐν τῷ αἰθέρι καὶ θεῖα πάντα πάλιν ἐξ ὁμοιομερῶν καὶ σφαιρικῶν, ἐπείπερ ἐπίπεδα ὄντα δισκοειδῆ οὐκ ἂν πᾶσι τοῖς ἐκ διαφόρων τῆς γῆς τόπων ὑπὸ τὸν αὐτὸν χρόνον ὁρῶσι κυκλικὸν ἐνεφαίνετο σχῆμα· διὰ τοῦτο δʼ εὔλογον εἶναι καὶ τὸν περιέχοντα αὐτὰ αἰθέρα τῆς ὁμοίας ὄντα φύσεως σφαιροειδῆ τε εἶναι καὶ διὰ τὴν ὁμοιομέρειαν ἐγκυκλίως τε φέρεσθαι καὶ ὁμαλῶς.

Ὅτι δὲ καὶ ἡ γῆ σφαιροειδής ἐστιν πρὸς αἴσθησιν ὡς καθʼ ὅλα μέρη λαμβανομένη, μάλιστʼ ἂν οὕτως κατανοήσαιμεν· τὸν ἥλιον γὰρ πάλιν καὶ τὴν σελήνην καὶ τοὺς ἄλλους ἀστέρας ἔστιν ἰδεῖν οὐ κατὰ τὸ αὐτὸ πᾶσιν τοῖς ἐπὶ τῆς γῆς ἀνατέλλοντάς τε καὶ δύνοντας, [*](1. καὶ ὁμοιομερέστερός ἐστιν] A, supra scr. D3, om D, ἐστιν BC. 2 δέ] δʼ D. 3 -νειαι — ἐπιφά-] mg D3. 4. ἐν( alt)] om. D. τοῖς στερεοῖς] τῶν στερεῶν D. 7. καί] καὶ τά D.) [*](8. ἀνομοιομε |μερῶν D. μέντοι] δὲ τῶν D. 9. δʼ] δέ D.) [*](11. ἀπᾶσι D. 12 τόπων] corr ex τόπον C3. 13 δʼ] τε D.) [*](15. ἐγκυκλίως] ἐνκυκλίως D. φέρεσθαι] -έρ- in ras. D. 17. δ΄] B, om ACD. ὅτι — 18 μέρη] ὅτι σφαιροειδὴς καὶ ἡ γῆ mg. sup. D. 19. |φαιροειδής D. 20. οὕτω D. 22. ἔστιν] ins. D3. 23. πᾶσι D.)

ἀλλὰ προτέροις μὲν αἰεὶ τοῖς πρὸς ἀνατολὰς οἰκοῦσιν, ὑστέροις δὲ τοῖς πρὸς δυσμάς. τὰς γὰρ ὑπὸ τὸν αὐτὸν χρόνον ἀποτελουμένας ἐκλειπτικὰς φαντασίας καὶ μάλιστα τὰς σεληνιακὰς εὑρίσκομεν οὐκ ἐν ταῖς αὐταῖς ὥραις, τουτέστιν ταῖς τὸ ἴσον ἀπεχούσαις τῆς μεσημβρίας, παρὰ πᾶσιν ἀναγραφομένας, ἀλλὰ πάντοτε τὰς παρὰ τοῖς ἀνατολικωτέροις τῶν τηρησάντων ἀναγεγραμμένας ὥρας ὑστεριζούσας τῶν παρὰ τοῖς δυτικωτέροις. καὶ τῆς διαφορᾶς δὲ τῶν ὡρῶν ἀναλόγου τοῖς διαστήμασι τῶν χωρῶν εὑρισκομένης σφαιρικὴν ἄν τις εἰκότως τὴν τῆς γῆς ἐπιφάνειαν ὑπολάβοι τῆς κατὰ τὴν κυρτότητα καθʼ ὅλα μέρη λαμβανομένης ὁμοιομερείας ἀναλόγως αἰεὶ τὰς ἐπιπροσθήσεις τοῖς ἐφεξῆς ποιουμένης· εἰ δέ γε ἦν τὸ σχῆμα ἕτερον, οὐκ ἂν τοῦτο συνέβαινεν, ὡς ἴδοι τις ἂν καὶ ἐκ τούτων.

κοίλης μὲν γὰρ αὐτῆς ὑπαρχούσης προτέροις ἂν ἐφαίνετο ἀνατέλλοντα τὰ ἄστρα τοῖς δυσμικωτέροις, ἐπιπέδου δὲ πᾶσιν ἅμα καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν χρόνον τοῖς ἐπὶ τῆς γῆς ἀνέτελλέν τε καὶ ἔδυνεν, τριγώνου δὲ ἢ τετραγώνου ἤ τινος ἄλλου σχήματος τῶν πολυγώνων πᾶσιν ἂν πάλιν ὁμοίως καὶ κατὰ τὸ αὐτὸ τοῖς ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας οἰκοῦσιν, ὅπερ οὐδαμῶς φαίνεται γινόμενον. ὅτι δὲ οὐδὲ κυλινδροειδὴς ἂν εἴη, ἵνα ἡ μὲν περιφερὴς ἐπιφάνεια πρὸς τὰς ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις τετραμμένη, τῶν δὲ ἐπιπέδων βάσεων αἱ [*](1. ἀεί D. 3. χρόνονον C. ἀποτελουμένας] corr ex ἀπο- τελούμενα A3. 6. τάς] ins D3. παρά] om. D. 7. ἀνα- τολικοτέροις BC, corr. B2. 8. ὑστεριζούσας] ὑ- ins. D3. 13. ἀεί D. 17 ΄΄τὰ ἄστρα ἀύατέλλοντα B (notas adpos. B1).) [*](19. ἀνέτελεν C. 20. δέ] corr. in τε D2. 21. ἄν] om. D. 22. οὐδαμῆ D. 23. ὅτι] inter ὅ et τι ras. 1 litt C. 25. τετραμμένη] τε- in ras. D. ἐπιπέδων] corr. ex ἐπιπέλων D3.)

πλευραὶ πρὸς τοὺς τοῦ κόσμου πόλους, ὅπερ ἄν τινες ὑπολάβοιεν ὡς πιθανώτερον, ἐκεῖθεν δῆλον· οὐδενὶ γὰρ ἂν οὐδὲν αἰεὶ φανερὸν ἐγίγνετο τῶν ἄστρων τῶν ἐπὶ τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας οἰκούντων, ἀλλʼ ἢ πάντα πᾶσιν καὶ ἀνέτελλεν καὶ ἔδυνεν, ἢ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ἴσον ἀφεστῶτα τῶν πόλων ἑκατέρου πᾶσιν ἀεὶ ἀφανῆ καθίστατο· νῦν δʼ ὅσῳ ἂν μᾶλλον πρὸς τὰς ἄρκτους παροδεύωμεν, τοσούτῳ τῶν μὲν νοτιωτέρων ἄστρων ἀποκρύπτονται τὰ πλείονα, τῶν δὲ βορειοτέρων ἀναφαίνεται, ὡς δῆλον εἶναι, διότι καὶ ἐνταῦθα ἡ κυρτότης τῆς γῆς καὶ τὰς ἐπὶ τὰ πλάγια μέρη ἐπιπροσθήσεις ἀναλόγως ποιουμένη πανταχόθεν τὸ σχῆμα τὸ σφαιροειδὲς|ἀποδείκνυσιν, μετὰ τοῦ, κἂν προσπλέωμεν ὄρεσιν ἤ τισιν ὑψηλοῖς χωρίοις ἀφʼ ἡσδήποτε γωνίας καὶ πρὸς ἡνδήποτε, κατὰ μικρὸν αὐτῶν αὐξόμενα τὰ μεγέθη θεωρεῖσθαι καθάπερ ἐξ αὐτῆς τῆς θαλάττης ἀνακυπτόντων, πρότερον δὲ καταδεδυκότων διὰ τὴν κυρτότητα τῆς τοῦ ὕδατος ἐπιφανείας.

Τούτου δὲ θεωρηθέντος, εἴ τις ἐφεξῆς καὶ περὶ τῆς θέσεως τῆς γῆς διαλάβοι, κατανοήσειεν ἂν οὕτως [*](1. ὅπερ corr. ex ὅπεν C2. πειθανώτερον C. 3. ἀεί CD. ἐγένετο D. 5. ἀνέτελλε D. Post ἤ add κατά D3.) [*](6. τό] τά D. πόλων] corr. ex πόλλων D. 7. δʼ| δέ D.) [*](ὅσῳ] ὅ- supra scr. D3. ἄν] om. D. 8 παροδεύωμεν] corr. ex παροδεύομεν A2, mut. in παροδεύομεν D, παροδεύομεν C.) [*](νοτειοτέρων D. 9. ἀποκρύπτεται D. τά] om D. δέ] supra scr. D3. 10 δῆλον] δῆ- e. corr. D3. 11 μέρη] -η in ras. D. 13. ἀποδείκνυσι D. προσπλέωμεν] corr. ex προσ- πλέομεν D3. 14. χωρίοις] corr ex χοροις C. 15 ἡνδήποτε] -ν- supra scr. D3. 16. θαλάσσης D. 19. εʹ] B, om. ACD.) [*](ὅτι — γῆ] mg. supp. D.)

μόνως συντελεσθησόμενα τὰ φαινόμενα περὶ αὐτήν, εἰ μέσην τοῦ οὐρανοῦ καθάπερ κέντρον σφαίρας ὑποστησαίμεθα. τούτου γὰρ δὴ μὴ οὕτως ἔχοντος ἔδει ἤτοι τοῦ μὲν ἄξονος ἐκτὸς εἶναι τὴν γῆν, ἑκατέρου δὲ τῶν πόλων ἴσον ἀπέχειν, ἢ ἐπὶ τοῦ ἄξονος οὖσαν πρὸς τὸν ἕτερον τῶν πόλων παρακεχωρηκέναι ἢ μήτε ἐπὶ τοῦ ἄξονος εἶναι μήτε ἑκατέρου τῶν πόλων ἴσον ἀπέχειν.

πρὸς μὲν οὖν τὴν πρώτην τῶν τριῶν θέσιν ἐκεῖνα μάχεται, ὅτι, εἰ μὲν εἰς τὸ ἄνω ἢ τὸ κάτω τινῶν παρακεχωρηκυῖα νοηθείη, τούτοις ἂν συμπίπτοι ἐπὶ μὲν ὀρθῆς τῆς σφαίρας τὸ μηδέποτε ἰσημερίαν γίνεσθαι εἰς ἄνισα πάντοτε διαιρουμένων ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος τοῦ τε ὑπὲρ γῆν καὶ τοῦ ὑπὸ γῆν, ἐπὶ δὲ τῆς ἐγκεκλιμένης τὸ ἢ μὴ γίνεσθαι πάλιν ὅλως ἰσημερίαν μὴ ἐν τῇ μεταξὺ παρόδῳ τῆς τε θερινῆς τροπῆς καὶ τῆς χειμερινῆς ἀνίσων τῶν διαστημάτων τούτων ἐξ ἀνάγκης γινομένων διὰ τὸ μηκέτι τὸν ἰσημερινὸν καὶ μέγιστον τῶν παραλλήλων τῶν τοῖς πόλοις τῆς περιφορᾶς γραφομένων κύκλων διχοτομεῖσθαι ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος, ἀλλʼ ἕνα τῶν παραλλήλων αὐτῷ καὶ ἤτοι βορειοτέρων ἢ νοτιωτέρων. ὡμολόγηται δέ γε ὑπὸ πάντων ἀπλῶς, ὅτι τὰ διαστήματα ταῦτα ἴσα τυγχάνει [*](3. δή] om. D. ἐχόντος] corr. ex ἔχοντως C3. 4 sq. α, β, γ, δ mg D2. 9 πρώτην] -ώ- e corr. D. 11. παρακεχω- ρηκυῖαν C, -ν del. C2. νοηθείη] -εί- e corr. C2. 14. καί — γῆν] supra scr. D3. 15. ἐγκεκλιμένης] -ι- inter duas ras. D.) [*](ἢ] supra scr. D3. 16. τε] om. D. 18. ἰσημερινόν] -ι- ins. C. 19. τῶν παραλλήλων] om. D. Supra τῶν τοῖς ras. D.) [*](πόλοις] corr. ex πόλλοις D. Supra περιφορᾶς add. σφαίρας D.) [*](21. αὐτῷ] corr. ex αὐτῶν D. 22. νοτιωτέρων] corr. ex νωτιωτέρων C, ex νοτειοτέρων D3. ὡμολόγηται] corr. ex ὁμο- λογεῖπται D3, γε] om D. 23. τυγχάνειν D, -ν eras.)

πανταχῆ, τῷ καὶ τὰς παρὰ τὴν ἰσημερίαν αὐξήσεις τῆς μεγίστης ἡμέρας ἐν ταῖς θεριναῖς τροπαῖς ἴσας εἶναι ταῖς μειώσεσι τῶν ἐλαχίστων ἡμερῶν ἐν ταῖς χειμεριναῖς τροπαῖς. εἰ δὲ εἰς τὰ πρὸς ἀνατολὰς ἢ δυσμὰς μέρη τινῶν πάλιν ἡ παραχώρησις ὑποτεθείη, καὶ τούτοις ἂν συμβαίνοι τὸ μήτε τὰ μεγέθη καὶ τὰ διαστήματα τῶν ἄστρων ἴσα καὶ τὰ αὐτὰ κατά τε τὸν ἑῷον καὶ τὸν ἑσπέριον ὁρίζοντα φαίνεσθαι μήτε τὸν ἀπʼ ἀνατολῆς μέχρι μεσουρανήσεως χρόνον ἴσον ἀποτελεῖσθαι τῷ ἀπὸ μεσουρανήσεως ἐπὶ δύσιν, ἅπερ ἐναργῶς παντάπασιν ἀντίκειται τοῖς φαινομένοις.

πρὸς δὲ τὴν δευτέραν τῶν θέσεων, καθʼ ἣν ἐπὶ τοῦ ἄξονος οὖσα πρὸς τὸν ἕτερον τῶν πόλων παρακεχωορηκυῖα νοηθήσεται, πάλιν ἄν τις ὑπαντήσειεν, ὅτι, εἰ τοῦθʼ οὕτως εἶχεν, καθʼ ἕκαστον ἂν τῶν κλιμάτων τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον ἄνισα διαφόρως ἐποίει πάντοτε τό τε ὑπὲρ γῆν καὶ τὸ ὑπὸ γῆν τοῦ οὐρανοῦ κατʼ ἄλλην καὶ ἄλλην παραχώρησιν καὶ πρὸς ἑαυτὰ καὶ πρὸς ἀλληλα, ἐπὶ μὲν μόνης τῆς ὀρθῆς σφαίρας διχοτομεῖν αὐτὴν δυναμένου τοῦ ὁρίζοντος, ἐπὶ δὲ τῆς ἐγκλίσεως τῆς ποιούσης τὸν ἐγγύτερον τῶν πόλων ἀεὶ φανερὸν τὸ μὲν ὑπὲρ γῆν πάντοτε μειοῦντος, τὸ δὲ ὑπὸ γῆν αὔξοντος, ὥστε συμβαίνειν τὸ καὶ τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον μέγιστον εἰς ἄνισα διαιρεῖοὕτως σθαι ὑπὸ τοῦ τοῦ ὁρίζοντος ἐπιπέδου, ὅπερ οὐδαμῶς [*](1. τὰς παρὰ τήν] τὰ ἐπʼ αὐτήν seq lac. 8—9 litt. D, corr D3. 2. ἐν ταῖς] in ras. D. 3. ταῖς (alt.)] τ corr. ex ι D3.) [*](13. πόλων] -ό- e corr. C. 15. εἶχεν] corr ex εἶχε D2. 16. τοῦ] bis D, sed corr. διαφθόρως A, γρ. διαφόρως mg. A) [*](17. τε] om. D. γῆν (alt.)] γ corr ex τ D. 18. κατά D.) [*](πρός] -ς e corr. C. 21. αἰεί D. 22. δέ] δʼ D. 23. τόν] corr. ex τό C3.)

ἔχον θεωρεῖται, ἕξ μὲν ἀεὶ καὶ πᾶσι φαινομένων ὑπὲρ γῆς δωδεκατημορίων, ἓξ δὲ τῶν λοιπῶν ἀφανῶν ὄντων, εἶτʼ αὖ πάλιν ἐκείνων μὲν ὅλων κατὰ τὸ αὐτὸ φαινομένων ὑπὲρ γῆς, τῶν δὲ λοιπῶν ἅμα μὴ φαινομένων· ὡς δῆλον τυγχάνειν, ὅτι καὶ τὰ τμήματα τοῦ ζῳδιακοῦ διχοτομεῖται ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐκ τοῦ τὰ αὐτὰ ἡμικύκλια ὅλα ποτὲ μὲν ὑπὲρ γῆν, ποτὲ δὲ ὑπὸ γῆν ἀπολαμβάνεσθαι.

καὶ καθόλου δʼ ἂν συνέβαινεν, εἴπερ μὴ ὑπʼ αὐτὸν τὸν ἰσημερινὸν εἶχε τὴν θέσιν ἡ γῆ, πρὸς ἄρκτους δὲ ἢ πρὸς μεσημβρίαν ἀπέκλινεν πρὸς τὸν ἕτερον τῶν πόλων, τὸ μηκέτι μηδὲ πρὸς αἴσθησιν ἐν ταῖς ἰσημερίαις τὰς ἀνατολικὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ταῖς δυτικαῖς ἐπʼ εὐθείας γίγνεσθαι κατὰ τῶν παραλλήλων τῷ ὁρίζοντι ἐπιπέδων, ὅπερ ἄντικρυς πανταχῆ θεωρεῖται παρακολουθοῦν. φανερὸν δʼ αὐτόθεν, ὅτι μηδὲ τὴν τρίτην τῶν θέσεων οἷόν τε προχωρεῖν ἐκατέρων τῶν ἐν ταῖς πρώταις ἐναντιωμάτων ἐπʼ αὐτῆς συμβησομένων.

συνελόντι δʼ εἰπεῖν πᾶσα ἂν συγχυθείη τέλεον ἡ τάξις ἡ περὶ τὰς αὐξομειώσεις τῶν νυχθημέρων θεωρουμένη μὴ μέσης ὑποκειμένης τῆς γῆς μετὰ τοῦ μηδὲ τὰς τῆς σελήνης ἐκλείψεις κατὰ πάντα τὰ μέρη τοῦ οὐρανοῦ πρὸς τὴν κατὰ διάμετρον τῷ ἡλίῳ στάσιν ἀποτελεῖσθαι δύνασθαι τῆς γῆς πολλάκις μὴ ἐν ταῖς [*](1. αἰεί D. 4. ὑπέρ — 5. φαινομένων] supra scr D3. 6. ζῳδιακοῦ] -α- supra scr. D3. 7. ὅλα] seq. ras. 1 litt. D.) [*](11. ἀπέκλινε D. 12 Post μηδέ eras τι D. 14. εὐθείας] corr. ex εὐθείαις D. γίνεσθαι D. seq ras. 4 litt. 15. Post τῷ eras. δι D. ἐπιπέδων] corr. ex ἐπιπέδωι D. 19. συμβησο- μένων] ante -ο- ras. C. 20. δʼ] δέ D. συνχυθείη C. 21. τάξις] ξ corr. ex δ B1C3. αὐξομιώσεις AD, corr. A2. 23. ἐκ- λείτψεις] -εί- in ras D. τά] om. D. 24. κατά] om. D.)

διαμετρούσαις παρόδοις ἐπιπροσθούσης αὐτοῖς, ἀλλὰ ἐν τοῖς ἐλάττοσι τοῦ ἡμικυκλίου διαστήμασιν.

Ἀλλὰ μὴν ὅτι καὶ σημείου λόγον ἔχει πρὸς αἴσθησιν ἡ γῆ πρὸς τὸ μέχρι τῆς τῶν ἀπλανῶν καλουμένων σφαίρας ἀπόστημα, μέγα μὲν τεκμήριον τὸ ἀπὸ πάντων αὐτῆς τῶν μερῶν τά τε μεγέθη καὶ τὰ διαστήματα τῶν ἄστρων κατὰ τοὺς αὐτοὺς χρόνους ἴσα καὶ ὅμοια φαίνεσθαι πανταχῆ, καθάπερ αἱ ἀπὸ διαφόρων κλιμάτων ἐπὶ τῶν αὐτῶν τηρήσεις οὐδὲ τὸ ἐλάχιστον εὑρίσκονται διαφωνοῦσαι. οὐ μὴν ἀλλὰ κἀκεῖνο παραληπτέον τὸ τοὺς γνώμονας τοὺς ἐν ᾡδήποτε μέρει τῆς γῆς τιθεμένους, ἔτι δὲ τὰ τῶν κρικωτῶν σφαιρῶν κέντρα τὸ αὐτὸ δύνασθαι τῷ κατὰ ἀλήθειαν τῆς γῆς κέντρῳ καὶ διασώζειν τὰς διοπτεύσεις καὶ τὰς τῶν σκιῶν περιαγωγὰς οὕτως ὁμολόγους ταῖς ὑποθέσεσι τῶν φαινομένων, ὡς ἂν εἰ διʼ αὐτοῦ τοῦ τῆς γῆς μέσου σημείου γινόμεναι ἐτύγχανον.

ἐναργὲς δὲ σημεῖον τοῦ ταῦθʼ οὕτως ἔχειν καὶ τὸ πανταχῆ τὰ διὰ τῶν ὄψεων ἐκβαλλόμενα ἐπίπεδα, ἃ καλοῦμεν ὁρίζοντας, διχοτομεῖν πάντοτε τὴν ὅλην σφαῖραν τοῦ οὐρανοῦ, ὅπερ οὐκ ἂν συνέβαινεν, εἰ τὸ [*](2. ἐλάττοσιν D. 3. ς΄] om. ACD. ὅτι — 4. γῆ] ὅτι σημείου λόγον ἔχη ἡ γῆ πρὸς τὰ οὐράνια mg sup. D. 7. τεμή- ριον D. 11. κλημάτων A. 14. κρικωτῶν] corr. ex κρικο- τῶν A2D3. 15. δύνασαι θ A. κατʼ D. 17. ταῖς] τ corr. ex ι D3, 18. ὑποθέσεσιν A. φαινομένων] φ- in ras. D.) [*](διʼ] ἢ διʼ D, καὶ δι᾿ D3. τοῦ] om. BC. 20. ἐναργαῖς C.) [*](21. ἅ] supra scr. D3. 23. εἰ] corr. ex εἰς D.)

μέγεθος τῆς γῆς αἰσθητὸν ἦν πρὸς τὴν τῶν οὐρανίων ἀπόστασιν, ἀλλὰ μόνον μὲν ἂν τὸ διὰ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον τῆς γῆς σημείου διεκβαλλόμενον ἐπίπεδον διχοτομεῖν ἠδύνατο τὴν σφαῖραν, τὰ δὲ διʼ ἡσδηποτοῦν ἐπιφανείας τῆς γῆς μείζονα ἂν πάντοτε τὰ ὑπὸ γῆν ἐποίει τμήματα τῶν ὑπὲρ γῆν.

Κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ τοῖς ἔμπροσθεν δειχθήσεται, διότι μηδʼ ἡντινοῦν κίνησιν εἰς τὰ προειρημένα πλάγια μέρη τὴν γῆν οἷόν τε ποιεῖσθαι ἢ ὅλως μεθίστασθαί ποτε τοῦ κατὰ τὸ κέντρον τόπου· τὰ αὐτὰ γὰρ συνἐβαινεν ἄν, ἅπερ εἰ καὶ τὴν θέσιν ἄλλην παρὰ τὸ μέσον ἔχουσα ἐτύγχανεν. ὥστʼ ἔμοιγε δοκεῖ περισσῶς ἄν τις καὶ τῆς ἐπὶ τὸ μέσον φορᾶς τὰς αἰτίας ἐπιζητήσειν ἅπαξ γε τοῦ, ὅτι ἢ τε γῆ τὸν μέσον ἐπέχει τόπον τοῦ κόσμου καὶ τὰ βάρη πάντα ἐπʼ αὐτὴν φέρεται, οὕτως ὄντος ἐναργοῦς ἐξ αὐτῶν τῶν φαινομένων. κἀκεῖνο δὲ μόνον προχειρότατον ἂν εἰς τὴν τοιαύτην κατάληψιν γίνοιτο τὸ σφαιροειδοῦς καὶ μέσης τοῦ παντός, ὡς ἔφαμεν, ἀποδεδειγμένης τῆς γῆς [*](2. τό (alt)] om. BC. 3. τῆς γῆς] om. C. σημείου] corr. ex σημεῖον D. 4. ἡσδηποτοῦν] corr. ex ἡσποτοῦν D3. 7. ζ΄] om ACD. ὅτι — 8. γῆ] mg. sup. D. 7. ποιεῖται μετα- βατικήν D. 10. τά] seq. ras. 1 litt. A. 12. κέντρον] corr. ex κε τρον A2. ἂν συνέβαινεν D. 14. ἐμοί C. περισῶς D) [*](15. φορᾶς] mut. in φοραῖς C3. ἐπιζητήσειν] mut. in ἐπι- ζητήσειεν D. fort. ἐπιζητῆσαι. 16. τε γῆ] e corr. D3. τόν] corr. ex τῶν A2. 18. ἐναργοῦς] supra scr. D3. φαινομέ- νων] seq. ὅν D, corr in ὧν D3. 19. κἀκεῖνο] seq. ras. 1 litt. A.) [*](δέ] supra scr. D3. 20 γίνοιτο] corr. ex γένοιτο D3. σφαι- ρονειδοῦς C, ν del. C2.)

ἐν ἅποσιν ἁπλῶς τοῖς μέρεσιν αὐτῆς τάς τε προσνεύσεις καὶ τὰς τῶν βάρος ἐχόντων σωμάτων φοράς, λέγω δὲ τὰς ἰδίας αὐτῶν, πρὸς ὀρθὰς γωνίας πάντοτε καὶ πανταχῆ γίνεσθαι τῷ διὰ τῆς κατὰ τὴν ἔμπτωσιν ἐπαφῆς διεκβαλλομένῳ ἀκλινεῖ ἐπιπέδῳ· δῆλον γὰρ διὰ τὸ τοῦθʼ οὕτως ἔχειν, ὅτι καί, εἰ μὴ ἀντεκόπτοντο ὑπὸ τῆς ἐπιφανείας τῆς γῆς, πάντως ἂν ἐπʼ αὐτὸ τὸ κέντρον κατήντων, ἐπεὶ καὶ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἄγουσα εὐθεῖα πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀεὶ γίνεται τῷ διὰ τῆς κατὰ τὴν ἐπαφὴν τομῆς ἐφαπτομένῳ τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ.

ὅσοι δὲ παράδοξον οἴονται τὸ μήτε βεβηκέναι που μήτε φέρεσθαι τὸ τηλικοῦτο βάρος τῆς γῆς, δοκοῦσί μοι πρὸς τὰ καθʼ ἑαυτοὺς πάθη καὶ οὐ πρὸς τὸ τοῦ ὅλου ἴδιον ἀποβλέποντες τὴν σύγκρισιν ποιούμενοι διαμαρτάνειν. οὐ γὰρ ἂν οἶμαι θαυμαστὸν αὐτοῖς ἔτι φανείη τὸ τοιοῦτον, εἰ ἐπιστήσαιεν, ὅτι τοῦτο τὸ τῆς γῆς μέγεθος συγκρινόμενον ὅλῳ τῷ περιέχοντι σώματι σημείου πρὸς αὐτὸ λόγον ἔχει· δυνατὸν γὰρ οὕτω δόξει τὸ κατὰ λόγον ἐλάχιστον ὑπὸ τοῦ παντελῶς μεγίστου καὶ ὁμοιομεροῦς διακρατεῖσθαί τε καὶ ἀντερείδεσθαι πανταχόθεν ἴσως καὶ ὁμοιοκλινῶς τοῦ μὲν κάτω [*](1. πᾶσιν D. μέρεσιν] corr. ex μέρεσι D. προσνεύσς D, προσνεύσςς D3. 2. δέ] δή D. 4. γίγνεσθαι BC. ἔμπτωσιν] corr. ex πτῶσιν D3. 5. διεκβαλλομένῳ] δ corr. ex α D3.) [*](ἀκλινῆ BC. 6. τό] om. D. 7. Post γῆς add. αἱ φοραί mg. BC (pro scholio). αὐτὸ τό] utrumque -ό in ras. B. 8. κέντρον] -ον in ras. B, κέντρον αἱ φοραί D. 10. τομῆς] -ς add D3. ἐπιπέδων A, sed ν eras 12. παράδοξον] δόξον C, mg. γρ. παράδο(ξον) C2, λοξόν B. βεβηβηκέναι D, sed corr) [*](13. τηλικοῦτο] mut. in τηλικοῦτον D3, 14. αὐτούς D. 16. ἄν] supra scr. D. ἔτι] supra scr. D3, 17 εἰ] corr. ex ἤ C3.) [*](19. οὕτω] e corr. D3.)

ἢ ἄνω μηδενὸς ὄντος ἐν τῷ κόσμῳ πρὸς αὐτήν, καθάπερ οὐδὲ ἐν σφαίρᾳ τις ἂν τὸ τοιοῦτον ἐπινοήσειεν, τῶν δὲ ἐν αὐτῷ συγκριμάτων τὸ ὅσον ἐπὶ τῇ ἰδίᾳ καὶ κατὰ φύσιν ἑαυτῶν φορᾷ τῶν μὲν κούφων καὶ λεπτομερῶν εἰς τὸ ἔξω καὶ ὡς πρὸς τὴν περιφέρειαν ἀναριπιζομένων, δοκούντων δὲ εἰς τὸ παρʼ ἀναριπιζομένων, δοκούντων δὲ εἰς τὸ παρʼ ἑκάστοις ἄνω τὴν ὁρμὴν ποιεῖσθαι διὰ τὸ καὶ πάντων ἡμῶν τὸ ὑπὲρ κεφαλῆς, ἄνω δὲ καλούμενον καὶ αὐτό, νεύειν ὡς πρὸς τὴν περιέχουσαν ἐπιφάνειαν, τῶν δὲ βαρέων καὶ παχυμερῶν ἐπὶ τὸ μέσον καὶ ὡς πρὸς τὸ κέντρον φερομένων, δοκούντων δὲ εἰς τὸ κάτω πίπτειν διὰ τὸ καὶ πάντων πάλιν ἡμῶν τὸ πρὸς τοὺς πόδας, καλούμενον δὲ κάτω, καὶ αὐτὸ νεύειν πρὸς τὸ κέντρον τῆς γῆς συνίζησίν τε εἰκότως περὶ τὸ μέσον λαμβανόντων ὑπὸ τῆς πρὸς ἄλληλα πανταχόθεν ἴσης καὶ ὁμοίας ἀντικοπῆς τε καὶ ἀντερείσεως. τοιγάρτοι καὶ εἰκότως καταλαμβάνεται τὸ ὅλον στερέωμα τῆς γῆς μέγιστον οὕτως ὄν ὡς πρὸς τὰ φερόμενα ἐπʼ αὐτὴν καὶ ὑπὸ τῆς τῶν πάνυ ἐλαχίστων βαρῶν ὁρμῆς ἅτε δὴ πανταχόθεν ἀτρεμοῦσα καὶ ὥσπερ τὰ συμπίπτοντα ἐκδεχομένη. εἰ δέ γε καὶ αὐτῆς ἦν τις φορὰ κοινὴ καὶ μία καὶ ἡ αὐτὴ τοῖς ἄλλοις βάρεσιν, ἔφθανεν ἂν πάντα δηλονότι διὰ τὴν τοσαύτην τοῦ μεγέθους ὑπερβολὴν καταφερομένη, καὶ ὑπελείπετο μὲν τά τε ζῷα καὶ τὰ κατὰ μέρος τῶν [*](1. μηθενὸς D. αὐτήν] αὐτόν D (corrigere uoluit D3).) [*](3. αὐτῷ] αὐτοῖς BC συνκριμάτων A. τό] ins. D3. ὅσον] mut. in ὅσῳ D3. ἐπὶ τῇ ἰδίᾳ] corr. ex ἐπιτήδειαι D3, ἐπί τῆ δίαι C, ἐπὶ τῆ ἰδίαι C3. 4 αὐτῶν D. φορᾷ] corr. ex φοραί D3. 5. τό] corr. ex τόν D. φέρειαν C. 6. ἀναρρι- πιζομένων A2C2D. 7. ἑκάστοις] corr. ex ἑκάστης D3. 13 αὐτό] corr. ex αὐτῶ C3, αὐτὸ νεύε A, αὐτὸ νεύει A2. 14 τε] corr. ex γε D3. 18. φαιρόμενα D, corr. D3. 21 φορά] ante ρ ras. 1 litt. C. 22. ἄλοις C.) βαρῶν ὀχούμενα ἐπὶ τοῦ ἀέρος, αὐτὴ δὲ τάχιστα τέλεον ἂν ἐκπεπτώκει καὶ αὐτοῦ τοῦ οὐρανοῦ. ἀλλὰ τὰ τοιαῦτα μὲν καὶ μόνον ἐπινοηθέντα πάντων ἂν φανείη γελοιότατα.

ἤδη δέ τινες, ὡς γʼ οἴονται, πιθανώτερον, τούτοις μὲν οὐκ ἔχοντες, ὅ, τι ἀντείποιεν, συγκατατίθενται, δοκοῦσι δὲ οὐδὲν αὐτοῖς ἀντιμαρτυρήσειν, εἰ τὸν μὲν οὐρανὸν ἀκίνητον ὑποστήσαιντο λόγου χάριν, τὴν δὲ γῆν περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα στρεφομένην ἀπὸ δυσμῶν ἐπʼ ἀνατολὰς ἑκάστης ἡμέρας μίαν ἔγγιστα περιστροφήν, ἢ καὶ ἀμφότερα κινοῖεν ὁσονδήποτε, μόνον περί τε τὸν αὐτὸν ἄξονα, ὡς ἔφαμεν, καὶ συμμέτρως τῇ πρὸς ἄλληλα περικαταλήψει.

λέληθε δὲ αὐτούς, ὅτι τῶν μὲν περὶ τὰ ἄστρα φαινομένων ἕνεκεν οὐδὲν ἂν ἴσως κωλύοι κατά γε τὴν ἁπλουστέραν ἐπιβολὴν τοῦθʼ οὕτως ἔχειν, ἀπὸ δὲ τῶν περὶ ἡμᾶς αὐτοὺς καὶ τῶν ἐν ἀέρι συμπτωμάτων καὶ πάνυ ἂν γελοιότατον ὀφθείη τὸ τοιοῦτον. ἵνα γὰρ συγχωρήσωμεν αὐτοῖς τὸ παρὰ φύσιν οὕτως τὰ μὲν λεπτομερέστατα καὶ κουφότατα ἢ μηδʼ ὅλως κινεῖσθαι ἢ ἀδιαφόρως τοῖς τῆς ἐναντίας φύσεως τῶν γε περὶ τὸν ἀέρα καὶ ἧττον λεπτομερῶν ἐναργῶς οὕτως ταχυτέρας τῶν γεωδεστέρων πάντων φορὰς ποιουμένων, τὰ δὲ [*](3. ἐπινοηθέντα] corr. ex ἐπονοηθέντων D. 5. γʼ] om. A.) [*](6. συνκατατίθενται D. 7. αὐτοῖς οὐδέν D. τὸν μέν] corr. ex μὲν τόν D3. 9. τόν] bis C. 10. ἐπʼ] ἐπί D. περι- στροφήν] -σφήν in ras. D. 12 συμέτρως D, corr D3. 13. περικαταλήψει] post -ή- ras. 1 litt. D. 14. λέληθεν BCD.) [*](αὐτούς] -ς add D3. 15. οὐδέν] corr ex οὐδέ C2, οὐθέν D.) [*](κωλύοι] κ- corr. ex α in scrib. D. 17. περί] περί τε D.) [*](τῶν ἐν ἀέρι] A, τὸν ἀέρα BCD 18. ἄν] corr. ex ἀγ C3, om. D. 20. μηδʼ] -η- e corr. D. 21. ἀδιαφόρως] corr. ex διαφόρως C2D3. γε] corr. ex τε D3.)

παχυμερέστατα καὶ βαρύτατα κίνησιν ἰδίαν ὀξεῖαν οὕτως καὶ ὁμαλὴν ποιεῖσθαι τῶν γεωδῶν πάλιν ὁμολογουμένως μηδὲ πρὸς τὴν ὑπʼ ἄλλων κίνησιν ἐπιτηδείως ἐνίοτε ἐχόντων, ἀλλʼ οὖν ὁμολογήσαιεν ἂν σφοδροτάτην τὴν στροφὴν τῆς γῆς γίγνεσθαι ἁπασῶν ἀπλῶς τῶν περὶ αὐτὴν κινήσεων ὡς ἂν τοσαύτην ἐν βραχεῖ χρόνῳ ποιουμένην ἀποκατάστασιν, ὥστε πάντα ἂν τὰ μὴ βεβηκότα ἐπʼ αὐτῆς μίαν ἀεὶ τὴν ἐναντίαν τῇ γῇ κίνησιν ἐφαίνετο ποιούμενα, καὶ οὔτʼ ἂν νέφος ποτὲ ἐδείκνυτο παροδεῦον πρὸς ἀνατολὰς οὔτε ἄλλο τι τῶν ἱπταμένων ἢ βαλλομένων φθανούσης ἀεὶ πάντα τῆς γῆς καὶ προλαμβανούσης τὴν πρὸς ἀνατολὰς κίνησιν, ὥστε τὰ λοιπὰ πάντα εἰς τὰ πρὸς δυσμὰς καὶ ὑπολειπόμενα δοκεῖν παραχωρεῖν.

εἰ γὰρ καὶ τὸν ἀέρα φήσαιεν αὐτῇ συμπεριάγεσθαι κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἰσοταχῶς, οὐδὲν ἧττον τὰ κατʼ αὐτὸν γινόμενα συγκρίματα πάντοτε ἂν ἐδόκει τῆς συναμφοτέρων κινήσεως ὑπολείπεσθαι, ἢ εἴπερ καὶ αὐτὰ ὥσπερ ἡνωμένα τῷ ἀέρι συμπεριήγετο, οὐκέτʼ ἂν οὐδέτερον οὔτε προηγούμενα οὔτε ὑπολειπόμενα ἐφαίνετο, μένοντα δὲ ἀεὶ καὶ μήτε ἐν ταῖς πτήσεσιν μήτε ἐν ταῖς βολαῖς ποιούμενά τινα πλάνην ἢ μετάβασιν, [*](1. παχυμερέστατα] -ατ- e corr. A2. ὀξεῖαν] post ὀ- ras. 1 litt. A 2. τῶν] -ν supra scr. D3. γεωδῶν] -δ- corr. ex λ D3. 5. γίγνεσθαι τῆς γῆς B. γίνεσθαι D. 6. αὐτήν] -ή- in ras D3. 8. ἐπί D. ἀεί] supra ras. scr D3. τήν] τ- e corr. D3. 9. οὔτʼ] οὔτε seq. ras. 1 litt. D. 11. ἢ βαλλο- μένων] supra scr. D3. 12. προλαμβανούσης] post -ο- ras. 1 litt. B; προσλαμβανούσης C, sed -σ- del. C2. 13. εἰς] εἴς τε D.) [*](17. γενόμενα D. 19. συμπεριήγετο] -ή- ins. C2. 20. οὐδί- τερον] οὐδέτεραον A1, mut. in οὐδέτερα D3. 21 δέ| δʼ D.) [*](πτήσεσιν] πτήσεσι B, φοραῖς D, βολαῖς D3. Deinde ins μήτε ἐν ταῖς φοραῖς mg. BC (pro scholio) 22. βολαῖς] πτήσεσι D. πλάνην] ABCD, mg. γρ. παραλλαγήν C2.)

ἅπερ ἅπαντα οὕτως ἐναργῶς ὁρῶμεν ἀποτελούμενα ὡς μηδὲ βραδυτῆτός τινος ὅλως ἢ ταχυτῆτος αὐτοῖς ἀπὸ τοῦ μὴ ἑστάναι τὴν γῆν παρακολουθούσης.

Ταύτας μὲν δὴ τὰς ὑποθέσεις ἀναγκαίως προλαμβανομένας ες τὰς κατὰ μέρος παραδόσεις καὶ τὰς ταύταις ἀκολουθούσας ἀρκέσει καὶ μέχρι τῶν τοσούτων ὡς ἐν κεφαλαίοις ὑποτετυπῶσθαι βεβαιωθησομένας τε καὶ ἐπιμαρτυρηθησομένας τέλεον ἐξ αὐτῆς τῆς τῶν ἀκολούθως καὶ ἐφεξῆς ἀποδειχθησομένων πρὸς τὰ φαινόμενα συμφωνίας. πρὸς δὲ τούτοις ἔτι κἀκεῖνο τῶν καθόλου τις ἂν ἡγήσαιτο δικαίως προλαβεῖν, ὅτι δύο διαφοραὶ τῶν πρώτων κινήσεών εἰσιν ἐν τῷ οὐρανῷ, μία μὲν ὑφʼ ἧς φέρεται πάντα ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δυσμὰς ἀεὶ ὡσαύτως καὶ ἰσοταχῶς ποιουμένης τὴν περιαγωγὴν κατὰ παραλλήλων ἀλλήλοις κύκλων τῶν γραφομένων δηλονότι τοῖς ταύτης τῆς πάντα ὁμαλῶς περιαγούσης σφαίρας πόλοις, ὧν ὁ μέγιστος κύκλος ἰσημερινὸς καλεῖται διὰ τὸ μόνον αὐτὸν ὑπὸ μεγίστου ὄντος τοῦ ὁρίζοντος δίχα πάντοτε διαιρεῖσθαι καὶ τὴν κατʼ αὐτὸν γιγνομένην τοῦ ἡλίου περιστροφὴν ἰσημερίαν πρὸς αἴσθησιν πανταχοῦ ποιεῖν, ἡ δὲ ἑτέρα, καθʼ ἣν [*](4. η΄] om. ACD. ὅτι — 5 οὐρανῷ] mg. sup. D. 5. εἰσιν] supra scr. D3. 6. προσλαμβανομένας D, sed corr. 8. ἀρ- κέσει] corr. ex ἀρκέσι C3. 9. ἐν] ἐγ C. ὑποτετυπόσθαι C.) [*](βεβαιοθησομένας C. 10 τε] om. D. 13. ἡγήσαιτο] -ι- ins. D. προλαβεῖν] τὸ προλαβεῖν D. 15. μία] seq ras. 1 litt. C. 16. Ante ἐπί ras. 3 litt D. 18. τῆς] -ς e corr. D.) [*](19 πόλοις] corr. ex πόλλοις D. 22. γινομένην CD. 23. πανταχῆ D. ἡ] corr. ex αἱ D3.)

αἱ τῶν ἀστέρων σφαῖραι κατὰ τὰ ἐναντία τῇ προειρημένῃ φορᾷ ποιοῦνταί τινας μετακινήσεις περὶ πόλους ἑτέρους καὶ οὐ τοὺς αὐτοὺς τοῖς τῆς πρώτης περιαγωγῆς. καὶ ταῦτα δὲ οὕτως ἔχειν ὑποτιθέμεθα διὰ τὸ ἐκ μὲν τῆς κατὰ μίαν ἑκάστην ἡμέραν θεωρίας πάντα ἀπαξαπλῶς τὰ ἐν τῷ οὐρανῷ κατὰ τῶν ὁμοειδῶν καὶ παραλλήλων τῷ ἰσημερινῷ κύκλῳ τόπων πρὸς αἴσθησιν ὁρᾶσθαι ποιούμενα τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς μεσουρανήσεις καὶ τὰς δύσεις ἰδίου ὄντος τοῦ τοιούτου τῆς πρώτης φορᾶς, ἐκ δὲ τῆς ἐφεξῆς καὶ συνεχεστέρας παρατηρήσεως τὰ μὲν ἄλλα πάντα τῶν ἄστρων διατηροῦντα φαίνεσθαι καὶ τὰ πρὸς ἄλληλα διαστήματα καὶ τὰ πρὸς τοὺς οἰκείους τῇ πρώτῃ φορᾷ τόπους ἐπὶ πλεῖστον ἰδιώματα, τὸν δὲ ἥλιον καὶ τὴν σελήνην καὶ τοὺς πλανωμένους ἀστέρας μεταβάσεις τινὰς ποιεῖσθαι ποικίλας μὲν καὶ ἀνίσους ἀλλήλαις, πάσας δὲ ὡς πρὸς τὴν καθόλου κίνησιν εἰς τὰ πρὸς ἀνατολὰς καὶ ὑπολειπόμενα μέρη τῶν συντηρούντων τὰ πρὸς ἄλληλα διαστήματα καὶ ὥσπερ ὑπὸ μιᾶς σφαίρας περιαγομένων ἄστρων.

εἰ μὲν οὖν καὶ ἡ τοιαύτη μετάβασις τῶν πλανωμένων κατὰ παραλλήλων κύκλων ἐγίνετο τῷ ἰσημερινῷ, τουτέστιν περὶ πόλους τοὺς τὴν πρώτην ποιοῦντας περιαγωγήν, αὔταρκες ἂν ἐγίνετο μίαν ἡγεῖσθαι καὶ [*](2. πόλους] corr ex πόλλους D, ut saepius. 3. αὐτούς] -τού- e corr. D. 4. δέ ]δʼ D. διά] -ά e corr. D. 6. ὁμο- ειδῶν] -ει- in ras. post ras. 2 litt. A, ὁμοιοειδῶν D. 7. κύκλῳ] om D, comp BD3, del B2. τόπων] -ν euan. D. 9. ἰδίου] corr. ex ἰδίουσ D. ἰδίου ὄντος] corr ex ἰδιοῦντος C3, mg. ὄντος 12. φαίνεται D. 18. συντηρούντων] pr τ ins. D,3 post η ras. 2 litt. 19 ἄλληλα] e corr. A. 20. ἀστέρων D.) [*](21. ἡ] supra scr. B3C3. πλανομένων D. 22 κατά] corr. ex καὶ τά BC3. ἐγένετο C, corr C3.)

τὴν αὐτὴν πάντων περιφορὰν ἀκόλουθον τῇ πρώτῃ· πιθανὸν γὰρ ἂν οὕτως ἐφάνη καὶ τὸ τὴν γινομένην αὐτῶν μετάβασιν καθʼ ὑπολείψεις διαφόρους καὶ μὴ κατὰ ἀντικειμένην κίνησιν ἀποτελεῖσθαι. νῦν δὲ ἅμα ταῖς πρὸς τὰς ἀνατολὰς μεταβάσεσιν παραχωροῦντες ἀεὶ φαίνονται πρός τε ἄρκτους καὶ πρὸς μεσημβρίαν μηδὲ ὁμαλοῦ θεωρουμένου τοῦ μεγέθους τῆς τοιαύτης παραχωρήσεως, ὥστε δόξαι διʼ ἐξωθήσεών τινων τοῦτο τὸ σύμπτωμα γίγνεσθαι περὶ αὐτούς, ἀλλʼ ἀνωμάλου μὲν ὡς πρὸς τὴν τοιαύτην ὑπόνοιαν, τεταγμένης δὲ ὡς ὑπὸ κύκλου λοξοῦ πρὸς τὸν ἰσημερινὸν ἀποτελουμένης· ὅθεν καὶ ὁ τοιοῦτος κύκλος εἷς τε καὶ ὁ αὐτὸς καὶ τῶν πλανωμένων ἴδιος καταλαμβάνεται ἀκριβούμενος μὲν καὶ ὥσπερ γραφόμενος ὑπὸ τῆς τοῦ ἡλίου κινήσεως, περιοδευόμενος δὲ καὶ ὑπό τε τῆς σελήνης καὶ τῶν πλανωμένων πάντοτε περὶ αὐτὸν ἀναστρεφομένων καὶ μηδὲ κατὰ τὸ τυχὸν ἐκπιπτόντων τῆς ἀποτεμνομένης αὐτοῦ καθʼ ἕκαστον ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη παραχωρήσεως. ἐπεὶ δὲ καὶ μέγιστος οὗτος ὁ κύκλος θεωρεῖται διὰ τὸ τῷ ἴσῳ καὶ βορειότερον καὶ νοτιώτερον τοῦ ἰσημερινοῦ γίγνεσθαι τὸν ἥλιον, καὶ περὶ ἕνα καὶ τὸν αὐτόν, ὡς ἔφαμεν, αἰ τῶν πλανωμένων πάντων πρὸς τὰς ἀνατολὰς μεταβάσεις ἀποτελοῦνται, δευτέραν ταύτην διαφορὰν τῆς καθόλου κινήσεως ἀναγκαῖον ἦν ὑποστήσασθαι τὴν περὶ πόλους [*](2 οὕτως] corr. ex οὕτω D3. ἐφάνηι A. 4. κατʼ D.) [*](ἀποτελεῖσθαι] -π- e corr. C3, post π ras. 1 litt. A 5. τάς] om. CD. μεταβάσεσι D. 7 ὁμαλοῦ] post α ras. 1 litt A.) [*](8. ἐξωθήσεων] ἐξοθήσεων C, post -ε- ras. 1 litt. D. 9. γίνε- σθαι CD, 10. δέ] δʼ D. 15 τε] om. BC. 20. τῷ ἴσῳ] corr. ex τὸ ἔσον C3. 21 γίνεσθαι D. 22 πλανομένων CD.) [*](25. κινήσεως] -σ- corr. ex λ in scrib. D.) τοῦ κατειλημμένου λοξοῦ κύκλου καὶ εἰς τὰ ἐναντία τῆς πρώτης φορᾶς ἀποτελουμένην.

ἐὰν δὴ νοήσωμεν τὸν διὰ τῶν πόλων ἀμφοτέρων τῶν προειρημένων κύκλων γραφόμενον μέγιστον κύκλον, ὃς ἐξ ἀνάγκης ἑκάτερον ἐκείνων, τουτέστιν τόν τε ἰσημερινὸν καὶ τὸν πρὸς αὐτὸν ἐγκεκλιμένον, δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς γωνίας τέμνει, τέσσαρα μὲν ἔσται σημεῖα τοῦ λοξοῦ κύκλου, δύο μὲν τὰ ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ διάμετρον ἀλλήλοις γινόμενα, καλούμενα δὲ ἰσημερινά, ὧν τὸ μὲν ἀπὸ μεσημβρίας πρὸς ἄρκτους ἔχον τὴν πάροδον ἐαρινὸν λέγεται, τὸ δὲ ἐναντίον μετοπωρινόν, δύο δὲ τὰ γινόμενα ὑπὸ τοῦ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων γραφομένου κύκλου, καὶ αὐτὰ δηλονότι κατὰ διάμετρον ἀλλήλοις, καλούμενα δὲ τροπικά, ὧν τὸ μὲν ἀπὸ μεσημβρίας τοῦ ἰσημερινοῦ χειμερινὸν λέγεται, τὸ δὲ ἀπʼ ἄρκτων θερινόν.

νοηθήσεται δὲ ἡ μὲν μία καὶ πρώτη φορὰ καὶ περιέχουσα τὰς ἄλλας πάσας περιγραφομένη καὶ ὤσπερ ἀφοριζομένη ὑπὸ τοῦ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων γραφομένου μεγίστου κύκλου περιαγομένου τε καὶ τὰ λοιπὰ πάντα συμπεριάγοντος ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δυσμὰς περὶ τοὺς τοῦ ἰσημερινοῦ πόλους βεβηκότας ὥσπερ ἐπὶ τοῦ καλουμένου μεσημβρινοῦ, ὃς τούτῳ μόνῳ τοῦ [*](2. φορᾶς] corr. ex κιν… D. ἀποτελουμένην] corr. ex ἀποτελουμένων D3. 5. Ante κύκλον eras. κυ D. ἑκάτερον] -ο- in ras D3. 7. τέσσαρα] corr. ex τέσσερα D3. 12. γενό- μενα D. ἀμφοτέρων] -ων e corr. D. 13. κύκλου] μεγίστου κύκλου, -γίστου in ras., D. καί — 20. κύκλου] mg D3 (κειμε), in textu supra scr. λείπει. 21. συνπεριάγοντος AC. ἐπί] εἰς D. 22. βεβηκότας] BCD, mut. in βεβηκότα A, in βεβη- κότος B3. 23. μεσημβρινοῦ, ὅς] corr. ex μεσημβρινοῦς C. ὅς] in ras B2; corr. ex ὡς D, ut saepius. τούτῳ] τού- e corr. B3.)

προειρημένου διαφέρων τῷ μὴ καὶ διὰ τῶν τοῦ λοξοῦ κύκλου πόλων πάντοτε γράφεσθαι ἔτι καὶ διὰ τὸ πρὸς ὀρθὰς γωνίας τῷ ὁρίζοντι συνεχῶς νοεῖσθαι καλεῖται μεσημβρινός, ἐπεὶ ἡ τοιαύτη θέσις ἑκάτερον τό τε ὑπὲρ γῆν καὶ τὸ ὑπὸ γῆν ἡμισφαίριον διχοτομοῦσα καὶ τῶν νυχθημέρων τοὺς μέσους χρόνους περιέχει. ἡ δὲ δευτέρα καὶ πολυμερὴς περιεχομένη μὲν ὑπὸ τῆς πρώτης, περιέχουσα δὲ τὰς τῶν πλανωμένων πάντων σφαίρας, φερομένη μὲν ὑπὸ τῆς προειρημένης, ὡς ἔφαμεν, ἀντιπεριαγομένη δὲ εἰς τὰ ἐναντία περὶ τοὺς τοῦ λοξοῦ κύκλου πόλους, οἵ καὶ αὐτοὶ βεβηκότες ἀεὶ κατὰ τοῦ τὴν πρώτην περιγραφὴν ποιοῦντος κύκλου, τουτέστι τοῦ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων, περιάγονταί τε εἰκότως σὺν αὐτῷ καὶ κατὰ τὴν εἰς τὰ ἐναντία τῆς δευτέρας φορᾶς κίνησιν τὴν αὐτὴν θέσιν ἀεὶ συντηροῦσιν τοῦ γραφομένου διʼ αὐτῆς μεγίστου καὶ λοξοῦ κύκλου πρὸς τὸν ἰσημερινόν.

Ἡ μὲν οὖν ὁλοσχερὴς προδιάληψις ὡς ἐν κεφαλαίοις τοιαύτην ἂν ἔχοι τὴν ἔκθεσιν τῶν ὀφειλόντων προυποκεῖσθαι· μέλλοντες δὲ ἄρχεσθαι τῶν κατὰ μέρος ἀποδείξεων, ὧν πρώτην ὑπάρχειν ἡγούμεθα, διʼ ἧς ἡ [*](1. διαφέρων τοῦ προειρημένου D. τῷ] corr. ex τῶν C, supra scr. D3. τῶν] corr. ex τὸ D3. 2. πόλων] supra scr. D3.) [*](4. τε] in ras. D3. 5. γῆν (alt)] γ corr. ex τ D3. 6. νυχθη- μέρων] -θ- ins. D3. χρόνους] χρόν- e corr. D. 7. περν- εχομένη] ἡ περιεχομένη D. 9. φερομένη] seq. ras 1 litt. D.) [*](Ante ὡς ras 3—4 litt. C. 10. δὲ εἰς] corr ex μέν C. τούς] corr. ex τῆς C3. 13. τῶν] corr. ex τόν C2. 14. πε] seq. ras. 1 litt. D. 15. αἰεί D. συντηροῦσιν] συντηροῦσιν οἱ πόλοι A. 16. αὐτῶν D. 18 θ΄] om. ACD. 19. προ- διάληψις] corr. ex προσδιάλημεψις D. ἐν] ἐγ C. 22. ἡ] corr. ex οἱ C3.)

μεταξὺ τῶν προειρημένων πόλων περιφέρεια τοῦ διʼ αὐτῶν γραφομένου μεγίστου κύκλου πηλίκη τις οὖσα τυγχάνει καταλαμβάνεται, ἀναγκαῖον ὁρῶμεν προεκθέσθαι τὴν πραγματείαν τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν ἅπαξ γε μελλήσοντες ἕκαστα γραμμικῶς ἀποδεικνύειν.

Πρὸς μὲν οὖν τὴν ἐξ ἑτοίμου χρῆσιν κανονικήν τινα μετὰ ταῦτα ἔκθεσιν ποιησόμεθα τῆς πηλικότητος αὐτῶν τὴν μὲν περίμετρον εἰς τξ τμήματα διελόντες, παρατιθέντες δὲ τὰς ὑπὸ τὰς καθʼ ἡμιμοίριον παραυξήσεις τῶν περιφερειῶν ὑποτεινομένας εὐθείας, τουτέστι πόσων εἰσὶν τμημάτων ὡς τῆς διαμέτρου διὰ τὸ ἐξ αὐτῶν τῶν ἐπιλογισμῶν φανησόμενον ἐν τοῖς ἀριθμοῖς εὔχρηστον εἰς ρκ τμήματα διῃρημένης. πρότερον δὲ δείξομεν, πῶς ἂν ὡς ἔνι μάλιστα διʼ ὀλίγων καὶ τῶν αὐτῶν θεωρημάτων εὐμεθόδευτον καὶ ταχεῖαν τὴν ἐπιβολὴν τὴν πρὸς τὰς πηλικότητας αὐτῶν ποιοίμεθα, ὅπως μὴ μόνον ἐκτεθειμένα τὰ μεγέθη τῶν εὐθειῶν [*](1 μεταξύ] in ras. D3. 2. μεγίστου] supra scr. D3. πη- λίκη] -η e corr. C3. 3. τυγχάνει] om. A. 5. ἅπαξ] -π- e corr C. γε] corr. ex τε D3. μελλήσοντες] -σ- e corr. C3, mut. in μελλήσαντες B3D3. 7. ι΄] om. ACD. τῆς πηλι- κότητος] om. D. τῷ] om. D. 8. εὐθειῶν] εὐθειῶν καὶ ἔκ- θεσις κανονική D. 12. τὰς ὑπὸ τάς] scripsi, τάς ABCD. ἡμι- μοιρίαν D. παραυξήσεις] mut. in παραύξησιν D3. Deinde add. καὶ τάς B3. 13. ὑποτεινομένας] corr. ex ὑποτινομένας A.) [*](τουτέστιν C, comp. B. 14. πόσων] ὅσων BC. εἰσί D, comp. B. 17. μάλιστα] -ι- et -τ- e corr. D3. 18. εὐμεθό- δευτον] -μ- et -δ- e corr. D3. 19 τήν] om. D. πηλικό- τητας] -ας in ras. D. 20. ὅπως] -π- in ras. D3.)

ἔχωμεν ἀνεπιστάτως, ἀλλὰ καὶ διὰ τῆς ἐκ τῶν γραμμῶν μεθοδικῆς αὐτῶν συστάσεως τὸν ἔλεγχον ἐξ εὐχεροῦς μεταχειριζώμεθα. καθόλου μέντοι χρησόμεθα ταῖς τῶν ἀριθμῶν ἐφόδοις κατὰ τὸν τῆς ἑξηκοντάδος τρόπον διὰ τὸ δύσχρηστον τῶν μοριασμῶν ἔτι τε τοῖς πολυπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς ἀκολουθήσομεν τοῦ συνεγγίζοντος ἀεὶ καταστοχαζόμενοι, καὶ καθʼ ὅσον ἂν τὸ παραλειπόμενον ηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρῃ τοῦ πρὸς αἴσθησιν ἀκριβοῦς.

Ἔστω δὴ πρῶτον ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἤχθω ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΔΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΖΔ δεκαγώνου ἐστὶν πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ πενταγώνου. ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΔΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ πρόσκειταί τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΔΖ, τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον [*](1 ἔχωμεν] ἔχω- e corr. C3. τῶν] τ- e corr. D. 3. μετα- χειριζώμεθα] μεταχειριζόμεθα B, corr. in μεταχειριζοίμεθα D3.) [*](χρησόμεθα] corr. ex χρησώμεθα C2. 5. ἔτι] post ἔ- ras. 1 litt. D. τε] τ- ins. D3. 8. διαφέρει C. 10. δή] eras. D.) [*](11 ΑΔΓ] e corr. D. Δ(pr )] corr. ex Α D3. 13. διήχθω D.) [*](15. ἐπεζεύχθω ἡ] mut. in ἐπιζευχθείσης τῆς B3; ἐπιζευχθείσης τῆς, -εί- e corr., D. καί] om. D, eras. B. 16. αὐτῇ] αὐ]αυτῆι A, αὕτηι corr. in ταύτηι C3. καί — 17. ΖB] supra scr. D2. 16. ἐπεζεύχθω] corr. ex ἐπιζεύχθω C2. 17. ΖΒ] Ζ in ras A.) [*](λέγω] seq ras. 1 litt. A. ἡ] in ras. D3. 18. δεκαγώνου] e corr. D3. 19. BΖ] B- in ras. BC3, ΖΒ D. 21. E] seq. ras. 1 litt. C. 22 ΓΖ] in ras. D3. ὀρθοιγώνιον A.)

μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ Eucl. II, 6, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΖΕ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΒ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΔ καὶ ΔΒ τετράγωνα Eucl. I, 47 τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ, ΔΒ τετραγώνοις. καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΔ τετραγώνου λοιπὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ἡ ΖΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Δ Eucl. VI def. 3. ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ ἑξαγώνου καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνονται Eucl. XIII, 9, ἡ δὲ ΓΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιέχει πλευράν Eucl. IV, 15 coroll., ἡ ΔΖ ἄρα ἐστὶν ἴση τῇ τοῦ δεκαγώνου πλευρᾷ. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων Eucl. XIII, 10, τοῦ δὲ ΒΔΖ ὀρθογωνίου τὸ ἀπὸ [*](1. μετὰ τοῦ ἀ-] in ras C. EΔ] ΔΕ D. ἐστίν] ἐστί B, om. D. 2 τῷ — τουτέστιν] ins B3, om C. τουτέστι B.) [*](3. τῷ] corr. ex τό C3. ἐπεί] mut. in ἐπειδήπερ D3. ἡ EΒ] supra scr. D3. 4. τῷ] corr. ex τὸ C3. ἐστίν D. τά] corr. ex τό C3. 5. τετραγωνα] comp. supra scr. D3. 7. ΔΕ] EΔ D. ἐπτί B. 8. ΔΒ] καὶ ΔΒ D. τετραγώνοις. καί] supra scr. D3. 9. τετραγώνου] ins. D3. τό] seq. ras. 1 litt. D. ὑπό] ὑ- e corr. D3. τῶν] corr. ex τῶ C. ΖΔ] Ζ ins. C. 10. τῷ (pr.)] corr. ex τό B2C3 11. ΖΓ] corr. ex ΖΙ C3.) [*](ἄρα] ἄρα εὐθεῖα D. 12 Δ] Δ. καί ἐστιν τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ ΔΓ D. ἡ] supra scr. A2, ins. B3. 13. εἰς] e corr. C2, corr. ex ἐκ B2. 14. ἐγγραφομένων] pr. γ supra scr. A2. 17. ἴση ἐστίν D.) τῆς ΒΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἥτις ἐστὶν ἑξαγώνου πλευρά, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ Eucl. l, 47, ἥτις ἐστὶν δεκαγώνου πλευρά, ἡ ΒΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.

ἐπεὶ οὖν, ὡς ἔφην, ὑποτιθέμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον τμημάτων ρκ, γίνεται διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν ΔΕ ἡμίσεια οὖσα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων λ καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς Ϡ, ἡ δὲ ΒΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τμημάτων ξ καὶ τὸ ἀπὸ αὐτῆς γχ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τῶν ἐπὶ τὸ αὐτὸ δφ· μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΕΖ τμημάτων ξζ δ νε. ἔγγιστα, καὶ λοιπὴ ἡ ΔΖ τῶν αὐτῶν λζ δ νε. ἡ ἄρα τοῦ δεκαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ περιφέρειαν τοιούτων λς, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ, τοιούτων ἔσται λζ δ νε, οἵων ἡ διάμετρος ρκ. πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΔΖ τμημάτων ἐστὶ λζ δ νε, τὸ δὲ ἀπὸ αὐτῆς ατοε δ ιε, ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῶν αὐτῶν γχ, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον δϠοε δ ιε, μήκει ἄρα ἔσται [*](1. ἴσον] supra scr. D3. 2. ἑξαγώνου πλευρά] in ras. A.) [*](3. ἐστί B. 4. ἴση ἐστίν D. τοῦ] supra scr. D3. 5. ἐπεί] inc fol. 15 alia manu D. ἔφην] mut. in ἔφαμεν B3, sed euan. 8. ἀπʼ] ἀπό B. ΒΔ] ΔΓ, Δ in ras., C3. οὖσα] om. D. 9. ἀπό (pr)] A, ἀπʼ BCD. 10. ΕΖ] corr. ex ΕΞ D.) [*](11. ἔσται] A, ἐστιν BCD ἡ] ins. C3. ΕΖ] corr. ex ΕΞ D.) [*](Post ἔγγιστα add. % C, mg (pro scholio): % ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔE λ΄. 12 ΔΖ] corr. ex ΔΞ D. 13. τοιούτων] -ων e corr. C. οἵων] -ω- corr. ex ο C3. 14. τοιούτων] corr. ex τοιοῦτον C3. ἔσται] comp. B, omnibus litteris mg. B2; simi- liter saepius; seq ras. D. δ] ins. D3. οἵων] corr. ex οἷον C3.) [*](15. διάμετρος] ante μ ras 1 litt. A. πάλιν — 16. νε] BD, mg. A3 (κείμενον) et pro scholio C. 15. ἐπεί] δὲ ἐπεί A3.) [*](ἐστί] ἐστίν D, comp. BC. 16. ἀπό] ἀπʼ D. ιε] inter ι et ε ras A, mg. γρ. κε A2, supra ε scr. δ Β2. ἔστιν D. 17. ΔΒ] ΒΔ D. τῶν] corr. ex τῶ A2. συντεθέντα] alt. ν supra scr D3. 18. ΒΖ] supra Ζ ras D. ιε] supra ε scr. δ B2, ε in ras. D. Supra μήκει ras D.)

ἡ ΒΖ τμημάτων ο λβ γ ἔγγιστα. καὶ ἡ τοῦ πενταγώνου ἄρα πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας οβ, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ, τοιούτων ἐστὶν ο λβ γ, οἵων ἡ διάμετρος ρκ. φανερὸν δὲ αὐτόθεν, ὅτι καὶ ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ξ, καὶ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν ξ. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ μὲν τοῦ τετραγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας Ϛ, δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ρκ, δυνάμει τῆς αὐτῆς ἐστιν τριπλασίων, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν γχ, συναχθήσεται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς τοῦ τετραγώνου πλευρᾶς ζσ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς τοῦ τριγώνου Μω. ὥστε καὶ μήκει ἡ μὲν τὰς μοίρας ὑποτείνουσα εὐθεῖα τοιούτων ἔσται πδ να ι ἔγγιστα, οἵων ἡ διάμετρος ρκ, ἡ δὲ τὰς ρκ τῶν αὐτῶν ργ νε κγ.

αἵδε μὲν οὕτως ἡμῖν ἐκ προχείρου καὶ καθʼ αὑτὰς εἰλήφθωσαν, καὶ ἔσται φανερὸν ἐντεῦθεν, ὅτι τῶν διδομένων εὐθειῶν ἐξ εὐχεροῦς δίδονται καὶ αἱ ὑπὸ τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον περιφερείας ὑποτείνουσαι [*](1. ο λβ) ολ β C. 2. οβ) supra rasuram D3. 4. δέ] δὲ καί D. καί] om. D. 5. μοίρας] μο AB, ut saepe μοι D semper fere. 8. μοίρας] μο ABC, μοι D. διπλασία] mut.in διπλασίων B2, διπλασίων D. 9. τοῦ] τοῦ ἰσοπλεύρου D. 12 τοῦ] om. D.) [*](13. δέ] δʼ D. τοῦ] om. τριγώνου) τρι- in ras. D.) [*](Μα] C, corr. ex Μο AB2, μοι corr. ex μυ post ras. 7 litt. D3; αω add. mg C3. 15. ἔγγιστα] -στα add. D3. 17. Post μέν add. οὖν comp. C2. 18. Ante καί ras. 4 litt. D. ἔσται] corr. ex ἔστι D3, mut in ἔστω B2. ἐντεῦθεν] αὐτόθεν, supra αὐτό- ras. , D. τῶν διδομένων] διδομένων τῶν edd ; sed genetiuus reconditiore quodam modo a λειπούσας περιφερείας pendet.) [*](19. αἱ] supra scr. B2C2.)

διὰ τὸ τὰ ἀπʼ αὐτῶν συντιθέμενα ποιεῖν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον· οἷον, ἐπειδὴ ἡ ὑπὸ τὰς λϛ μοίρας εὐθεῖα τμημάτων ἐδείχθη λζ δ νε καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς ατοε δ ιε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τμημάτων ἐστὶν Μα δυ, ἔσται καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον μοίρας ρμδ τῶν λοιπῶν Μα με, αὐτὴ δὲ μήκει τῶν αὐτῶν ριδ ζ λζ ἔγγιστα, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως.

ὅν δὲ τρόπον ἀπὸ τούτων καὶ αἰ λοιπαὶ τῶν κατὰ μέρος δοθήσονται, δείξομεν ἐφεξῆς προεκθέμενοι λημμάτιον εὔχρηστον πάνυ πρὸς τὴν παροῦσαν πραγματείαν.

ἔστω γὰρ κύκλος ἐγγεγραμμένον ἔχων τετράπλευρον τυχὸν τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ καὶ ΒΔ. δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ. κείσθω γὰρ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΕ. ἐὰν οὖν κοινὴν προσθῶμεν τὴν ὑπὸ ΕΒΔ, ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ [*](2. οἷον] corr. ex οἴων B1C. 4 ιε] supra ε scr. δ B2. 5. Μα] corr. ex μο A, μυρι α e corr. D3. 6 μοίρας] μο mut in μοι A2.) [*](7. Μα] corr. ex μο A2, λαυρι e corr. D3. γ] corr. ex δ D3.) [*](με] supra scr ϛ B2. 8. λζ] supra scr. ϛ B2. 9. λοιπαί] -οι- e corr. C2. τῶν] om. B. 11. πάνυ] om. B. 13 Mg. λῆμμα BC 14 τυχόν] om. D. ΑΓ] corr. ex ΑΒΓ D.) [*](15. δεικτέον — ΒΔ] supra scr D3. ὅτι] οὖν ὅτι D.) [*](16. τῷ] corr. ex τό C1. 17. ΑΒ, ΔΙ] e corr D3. τῷ] corr. ex τῶν D. κείσθω — 18. ΔΒΓ] supra scr. D3. 18 τῶν] om. D3. ἡ] supra scr D3. Post ABE add. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ (supra scr D3) ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ABE D et mg. pro scholio BC; % add. C3. οὖν] om. D, del. C.)

τῇ ὑπὸ BΓΕ ἴση Eucl. III, 21 τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνουσιν· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ. ὥστε καὶ ἀνάλογόν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ Eucl. VI, 4 τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕ Eucl. VI, 16. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ, ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση τῇ ὑπὸ ΒΔΓ. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ· ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑ, ΔΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΑΕ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΔ, ΓΕ· καὶ ὅλον Eucl. II, 1 ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

τούτου προεκτεθέντος ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓΔ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α δύο διήχθωσαν [*](3. τῷ] e corr. D3. 5. τήν (alt.)] om D. 7 ΒΓ] τῶν ΓΒ D. 8 ΒΔ] ΔB C, τῶν ΒΔ corr. ex τὸ ΒΔ D3. 10. γωνίᾳ] om. D. 11. -πὸ BΔ — 12. τρίγωνον] mg. B1.) [*](11. ἰσογώνιον — 12. τριγώνῳ] mg. C3. 11. ἐστί C3, comp. B.) [*](12. ABE] BAE C3. τῷ] corr. ex πό B1, ex τό D3. ΒΓΔ ΒΔΓ BC3. τριγώνῳ] τριγωνώνωι etiam in textu C. 14. Ante ΒΑ ins. τῶν D3. ΔΓ] ΓΔ D. ἐστί B. τῷ] corr. ex τὸ D3.) [*](ΑΕ] ΕΑ D. 15. τό] corr. ex τῷ B1C3. ὑπό (pr.)] ὑπὸ τῶν B1D. ΒΓ — ὁπό] om. C. ΒΓ — ΓΕ] mg B1, in textu ras. 4 litt. ΒΓ, ΑΔ] ΒΔ, ΓΕ B1D. ἴσον] -ον in ras. A2. τῷ] corr. ex τό D3. ΒΔ, ΓΕ] τῶν ΒΓ, ΑΔ B1D.) [*](16 ΑΓ] τῶν ΑΓ D. ἐστί D. 17. συναμφοτέροις] σ- corr. ex ν in scrib D. ΔΓ] ΓΔ D. 18. ΒΓ] ΓΒ D. 19. τοῦτο τὸ θεώρημα καθʼ ὑπεροχὴν λέγεται mg B pro scholio, γ mg. D. 20. Α] seq. ras. 1 litt. B.)

αἱ ΑΒ, ΑΓ καὶ ἔστω ἑκατέρα αὐτῶν δοθεῖσα τῷ μεγέθει, οἵων ἡ διάμετρος δοθεῖσα ρκ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι καὶ αὕτη δέδοται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΓΔ· δεδομέναι ἄρα εἰσὶν δηλονότι καὶ αὗται διὰ τὸ λείπειν ἐκείνων εἰς τὸ ἡμικύκλιον. ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΑΒΓΔ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ ἔσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ. καί ἐστιν τό τε ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ δοθὲν καὶ τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΒΓ δοθέν ἐστιν. καί ἐστιν ἡ ΑΔ διάμετρος· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα. καὶ φανερὸν ἡμῖν γέγονεν, ὅτι, ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἱ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ τὴν ὑπεροχὴν τῶν δύο περιφερειῶν ὑποτείνουσα εὐθεῖα. δῆλον δέ, ὅτι διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος ἄλλας τε οὐκ ὀλίγας εὐθείας ἐγγράψομεν ἀπὸ τῶν ἐν ταῖς καθʼ αὐτὰς [*](1. αὐτῶν] om. D. 2 ρκ] supra scr. D1. 4. ΒΔ] corr. ex ΒΛ C3. 5. ἄρα εἰσίν] om D. 8. τετράπλευρον] -πλευ- supra ras 2 litt. D. 9. ἄρα] supra scr. D. Post ὑπό add. τῶν D3. 10. τῶν] om. D. ΒΓ] Β e corr. B. 11. ΒΔ] ΒΔ ?? C, ΔΒ D. καί — 12. δοθέν] BD, mg. C3, om A.) [*](11. ἐστιν D, comp B. 12 τε] om A. τῶν ΑΓ. ΒΔ] ΑΒ, ΓΔ D. καί] δοθὲν καί AC, δοθὲν δὲ καί A3. ΑΒ, ΓΔ] ΑΓ, ΒΔ D. 13. δοθέν ἐστιν] -ν del. C, ἐστιν δοθέν D.) [*](καί] ins D3. ἐστιν] mut in ἔτι B3, ἔτι D. 14. Post διάμετρος add δοθεῖσα B1C2. ἐστίν] ἔσται D. 16 αἱ ὑπʼ] corr ex ἐπʼ δοθεῖσα ἔσται] δοθεῖσαι ὦσιν ἔσται δο- θεῖσα D. ἔσται] mut. in ὦσι C2. 17. ὑπεροχήν] post ρ ras. 1 litt A. 18. ὅτι] ὅτι καί D. τε] mg B1. οὐκ] in ras. B1. 19. ὀλίγας] -λίγ- in ras D3. ἐγγράψομεν] pr. γ in ras. D3. καθʼ αὑτάς] κατʼ αὐτάς D.) δεδομένων ὑπεροχῶν καὶ δὴ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς δώδεκα μοίρας, ἐπειδήπερ ἔχομεν τήν τε ὑπὸ τὰς ξ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς οβ.

πάλιν προκείσθω δοθείσης τινὸς εὐθείας ἐν κύκλῳ τὴν ὑπὸ τὸ ἥμισυ τῆς ὑποτεινομένης περιφερείας εὐθεῖαν εὑρεῖν. καὶ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ καὶ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΓΒ, καὶ ἡ ΓΜ περιφέρεια δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΔ, ΒΔ, ΔΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΔΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ ἡμίσειά ἐστι τῆς τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ ὑπεροχῆς. κείσθω γὰρ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΑΔ δύο ταῖς ΑΕ, ΑΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἕκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΔ ἴση ἐστίν Eucl. III, 27 καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΔ βάσει τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν Euel. I, 4. ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἴση ἐστίν· καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελοῦς ὄντος τριγώνου τοῦ ΔΕΓ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος [*](1. δεδομένων] δεδομέναις D, αις eras δώδεκα] ιβ D.) [*](2. μοίρας] μο ὑποτείνουσαν D 3 Post οβ add D, ὅπερ ἔδει δεῖξαι D3. 4 δ mg D. εὐθείας τινός D. 5. ὑπό] ὑ- e corr D. 6. καί] om D. 7 εὐθεῖα ἡ ΓΒ καί] ins. D.) [*](ΓΒ] ΒΓ D. 10. αἱ] om. C. 13. ἐτιν D. 16. ΑΒ] ΒΑ D. δύο] δυσί D. ΑΕ] ΕΑ D. 17. ἴσαι] corr. ex ἴσα D. ἑκατέρα] seq. ras. 3 litt. B. 18. ΒΑΔ] corr. ex ΑΒΓ D3. ἐστίν] — 20 ἐστίν] mg B1. 19. καί] om. D.) [*](καί — 20 ἐστίν] om. C. 19 ἐστιν ἴση B. 20 ἀλλά] ἀλλὰ καί BD. ΔΓ] ΓΔ D. ἴση ἐστίν] A, ἐστιν ἴση BD.) [*](Seq καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν mg. B1, del. B2. ΔΓ] ΓΔ D. 22 ΔΕΓ] ΓΔΕ D.)

ἦκται ἡ ΔΖ, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΓ Eucl. I, 26. ἀλλʼ ἡ ΕΓ ὅλη ἡ ὑπεροχή ἐστιν τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ εὐθειῶν· ἡ ἄρα ΖΓ ἡμίσειά ἐστιν τῆς τῶν αὐτῶν ὑπεροχῆς. ὥστε, ἐπεὶ τῆς ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρεταν εὐθείας ὑποκειμένης αὐτόθεν δέδοται καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΑΒ, δοθήσεται καὶ ἡ ΖΓ ἡμίσεια οὖσα τῆς τῶν ΑΓ καὶ ΑΒ ὑπεροχῆς. ἀλλʼ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τῷ ΑΓΔ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΔΖ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΔΓ ὁρθογώνιον τῷ ΔΓΖ Eucl. VI, 8, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς ΓΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ ΓΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον. ὥστε καὶ μήκει ἡ ΓΔ εὐθεῖα δοθήσεται τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς ΒΓ περιφερείας.

καὶ διὰ τούτου δὴ πάλιν τοῦ θεωρήματος ἄλλαι τε ληφθήσονται πλεῖσται κατὰ τὰς ἡμισείας τῶν προεκτεθειμένων, καὶ δὴ καὶ ἀπὸ τῆς τὰς ιβ μοίρας ὑποτεινούσης εὐθείας ἥ τε ὑπὸ τὰς καὶ ἡ ὑπὸ τὰς γ καὶ ἡ ὑπὸ τὴν μία ἥμισυ καὶ ἡ ὑπὸ τὸ ἥμισυ τέταρτον τῆς μιᾶς μοίρας. εὑρίσκομεν δὲ ἐκ τῶν ἐπιλογισμῶν [*](2. ἀλλά D. 4. εὐθείας] εὐθείας δοθείσης L. 5. ὑπο- κειμένης] del. D. Supra scr. ἤτοι δεδομένης B2, δεδομένης mg. C2. δέδοται] cor. ex δίδοται D. 6. Ante pr. ἡ ras. 1 litt. D. καί] postea ins. D3. 7. ἐπεί] om. D. 8. τῶ ΑΓΔ] τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ D. 9. ΑΔΓ] ΑΓΔ D. ΔΓΖ] ΓΔΖ corr. ex ΔΖ D3. 10 ΓΔ (alt )] mut. in ΔΓ C3. 11. ἴσον] add. D3. 12 δοθὲν δέ — 14. τετράγωνον] om. A.) [*](12. δέ] δέ ἐστιν D. 13 ΓΖ] ΓΖ περιεχόμενον D. 15. τήν] e corr. A. ΒΓ] e corr. D3. περιφερείας] -ς e corr. C, περιφερείας ὅπερ ἔδει δεῖξαι D. 16. ε mg. D. 17. προεκ- τιθεμένων D. 19. ϛ] ἕξ B. 20. ἥμισυ (utrumque)] comp. BD. τό] τήν D. τέταρτον] δ΄ D (similia posthac non notabo).)

τὴν μὲν ὑπὸ τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν τοιούτων ᾱ λδ ιε ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ, τὴν δὲ ὑπὸ τὸ U+2220΄δ΄ τῶν αὐτῶν o μζ η.

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ διάμετρον μὲν τὴν ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἀπειλήφθωσαν δύο περιφέρειαι δοθεῖσαι κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ δεδομέναι. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΓ, δοθήσεται καὶ αὐτή. διήχθω γὰρ διὰ τοῦ Β διάμετρος τοῦ κύκλου ἡ ΒΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ, ΓΕ, ΔΕ· δῆλον δὴ αὐτόθεν, ὅτι διὰ μὲν τὴν ΒΓ δοθήσεται καὶ ἡ ΓΕ, διὰ δὲ τὴν ΑΒ δοθήσεται ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΔΕ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΒΓΔΕ, καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΒΔ, ΓΕ, τὸ ὑπὸ τῶν διηγμένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τοῖς ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον· ὥστε, ἐπεὶ δεδομένου τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΕ, δέδοται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΔΕ, δέδοται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΓΔ. δέδοται [*](1. Supra ᾱ scr. ἑνός B3. 2. τό] τήν D. 3. U+2220΄] in ras. A. o] A, ο BCD, οὐδέν comp. A3D3. 7. ἐπιζεύχθω- σαν BC; ἐπιζεύ| D, Θ1ω add. D3. 8 εὐθεῖαι] corr. ex εὐ- θείας D3. 12. διά] ἀπό D. 14. ἐπιζεύχθωσαν BC. 15. ΔΓ] ΓΔ D. δή] δέ D. αὐτόθεν] post -ό- del. ι C. διά] in ras. D3. 16. δοθήσεται (alt.)] δοθήσονται D. 17. τά] corr. ex τ D3. 18 ἐν] -ν in ras. D3. 19. ΒΔ, ΓΕ] in ras. A.) [*](20. ἐστίν] -ν eras. D. 21. ὁπό] ὑ- in ras. D3. 22. ΒΔ] ΒΓ C. δέδοται] corr. ex δίδοται D3. 23. BΓ] mut. in BΔ C2; BE, ΓΔ supra scr. D3. δέδοται (pr.) — ΓΔ] om. D. -δοται — δέ-] mg. A1. δέδοται (alt.)] δέδονται D, sed ν eras.)

δὲ καὶ ἡ ΒΚ διάμετρος, καὶ λοιπὴ ἡ ΓΔ ἔσται δεδομένη, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΓΑ· ὥστε, ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἰ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι, δοθήσεται καὶ ἡ συναμφοτέρας τὰς περιφερείας κατὰ σύνθεσιν ὑποτείνουσα εὐθεῖα διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος.

φανερὸν δέ, ὅτι συντιθέντες ἀεὶ μετὰ τῶν προεκτεθειμένων πασῶν τὴν ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν καὶ τὰς συναπτομένας ἐπιλογιζόμενοι πάσας ἀπλῶς ἐγγράψομεν, ὅσαι δὶς γινόμεναι τρίτον μέρος ἕξουσιν, καὶ μόναι ἔτι περιλειφθήσονται αἱ μεταξὺ τῶν ἀνὰ ᾱ U+2220΄ μοῖραν διαστημάτων δύο καθʼ ἕκαστον ἐσόμεναι, ἐπειδήπερ καθʼ ἡμιμοίριον ποιούμεθα τὴν ἐγγραφήν. ὥστε, ἐὰν τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον εὐθεῖαν εὕρωμεν, αὕτη κατά τε τὴν σύνθεσιν καὶ τὴν ὑπεροχὴν τὴν πρὸς τὰς τὰ διαστήματα περιεχούσας καὶ δεδομένας εὐθείας καὶ τὰς λοιπὰς τὰς μεταξὺ πάσας ἡμῖν συναναπληρώσει. ἐπεὶ δὲ δοθείσης τινὸς εὐθείας ὡς τῆς ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν ἡ τὸ τρίτον τῆς αὐτῆς περιφερείας ὑποτείνουσα διὰ τῶν γραμμῶν οὐ δίδοταί πως· εἰ δέ γε δυνατὸν ἦν, εἴχομεν ἂν 3αὐτόθεν καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον· [*](1. δέ] corr. ex δι D3. λοιπή] ἡ λοιπή A. Deinde add. ἄρα D3. ἡ] BC, ἡ ὑπὸ τήν AD, ὑπὸ τήν eras. D. 3. ΑΓ] ΑΓ ὅπερ ἔδει δεῖξαι D. 4. ὑπό D. δοθήσεται] corr. ex δοθήσονται D3. 6. τούτου] τού | τούτου C, om. D. τοῦ] τοῦ τοιούτου D. 7. ?? mg D. et in textu D2. δέ] mut. in δή B3D3. προεκτιθεμένων D. 9. συναπτομένας] -π- in ras. D3.) [*](ἐγγράψομεν] pr. γ in ras. D3. 10. ὅσαι] corr. ex ὅσ αἱ C2D3.) [*](γενόμεναι D. 11. περιλειφθήσονται] corr. ex περιληφθή- σονται C2D3. τῶν] post ras. 3 litt. D. 13. καθʼ] καὶ καθʼ D.) [*](14. αὕτη] BC2, αὐτῆ A et corr. in αὐτή D, αυτη C. 15. τάς] corr ex τά A. 16. δεδομένας] -μέ- supra scr A1.) [*](17. τάς ( alt.)] καὶ τάς corr. ex κατά D. 19. μοῖραν] sic AC.) [*](ἡ τό] corr. ex ἤτοι D. τῆς αὐτῆς] corr. ex τῆς D.3 20. δίδοται] δέδοται corr. ex δέδωται D.)

πρότερον μεθοδεύσομεν τὴν ὑπὸ τὴν ᾱ μοῖραν ἀπό τε τῆς ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν καὶ τῆς ὑπὸ U+2220΄ δ΄ ὑποθέμενοι λημμάτιον, ὅ, κἂν μὴ πρὸς τὸ καθόλου δύνηται τὰς πηλικότητας ὁρίζειν, ἐπί γε τῶν οὕτως ἐλαχίστων τὸ πρὸς τὰς ὡρισμένας ἀπαράλλακτον δύναιτʼ ἂν συντηρεῖν.

λέγω γάρ, ὅτι, ἐὰν ἐν κύκλῳ διαχθῶσιν ἄνισοι δύο εὐθεῖαι, ἡ μείζων πρὸς τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος εὐθείας περιφέρεια πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος.

ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν. τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΑΕΓ καὶ ἡ ΑΔ καὶ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΕΔ εὐθείας, ἴση μέν ἐστιν ἡ ΓΔ εὐθεῖα τῇ [*](1. μεθοδεύσομεν] corr. ex μεθοδεύσαμεν C2. 2 μοῖρμένας] om. D. ὑπό] ὑπὸ τό D. 3. λημμάτιον] -τι- in ras. A. μή] corr. ex μοι C3. 4. πηλικότητας] corr. ex πηληκκότητας C.) [*](ἐλαχίστων] corr. ex ἐλάχιστον C3. 5. ὡρισμένας] ὡρι| σμένας corr. ex ὡρισ |μένας A1. δύναιτʼ ἄν] δύναται D. 6. λῆμμα mg. BC ἄνισοι δύο] β ἄνισοι D. 7. ἐλάσσονα (pr.)] ante ν ras. 2 litt. A. ἐλάσσονα (alt.)] AD, om. BC, add. C3 et mg. B1.) [*](8. μείζονος] -ς in ras. D3. 9. ἐπί] ἀπό B. ἐλάττονος D.) [*](11. ἄνισοι εὐθεῖαι D. 12 ΓΒ] ΒΓ D. 13. πρός — 15. περιφέρεια] mg B1C3. 13. εὐθεῖαν] om B1D. ἐλάττονα C.) [*](14 ἤπερ] ἤ C3. ΒΓ] ΓΒ B1D. 15. πρός — περιφέρειαν] et in textu C et in mg. C3. 16 ς mg. D. 17. δίχα γωνία D.) [*](20. καὶ ἐπεί] ἐπεὶ οὖν D.)

ΑΔ Eucl. III, 26, 29, μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΕΑ Euol. VI, 3. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΕΓ ἡ ΔΖ. ἐπεὶ τοίνυν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ τῆς ΕΔ, ἡ δὲ EΔ τῆς ΔΖ, ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΕ γραφόμενος κύκλος τὴν μὲν ΑΔ τεμεῖ, ὑπερπεσεῖται δὲ τὴν ΔΖ. γεγράφθω δὴ ὁ ΗΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΖΘ. καὶ ἐπεὶ ὁ μὲν ΔΕΘ τομεὺς μείζων ἐστὶν τοῦ ΔΕΖ τριγώνου, τὸ δὲ ΔΕΑ τρίγωνον μεῖζον τοῦ ΔΕΗ τομέως, τὸ ἄρα ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΑ τρίγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τόν ΔΕΗ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΚΑ τρίγωνον, οὕτως ἡ ΕΖ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΑ Eucl. VI, 1, ὡς δὲ ὁ ΔΕΘ τομεὺς πρὸς τὸν ΔΕΗ τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΚΔΑ ἡ ἄρα ΖΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΚΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. καὶ συνθέντι ἄρα ἡ ΖΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΖΔΑ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΔΕ καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια, ἡ ΓΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνία πρὸς [*](4. ὁ ἄρα] ὁ ἄ- e corr. D2. μέν] om D. 5. διαστήματι δέ] καὶ διαστήματι D. 6. τεμεῖ] corr. ex τέμνει D. ΔΖ] corr. ex ΑΖ B1, ΑΖ C. 7. ΗΕΘ] corr. ex ΕΘ D, supra Θ ras. 1 litt. καὶ ἐπεί] ἐπεὶ οὖν D. 8. ἐστίν — 9. μεῖζον] supra scr. D3 (ἐστί). 10. Τὸ ΔΕΖ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸν ΔΕΘ τομέα ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔΕΑ τρίγωνον πρὸς τὸν ΔΕΗ τομέα· ἐναλλάξ mg pro scholio B et nonnullis uerbis recisis C. ΔΕΑ τρίγωνον] δε ατρίγωνον D. 11. Ante λόγον ras. 1 litt. A. 12. τρίγωνον (alt)] om. D. 13. ΕΑ] ΑΕ B, corr. B1. 14. τομέα] om. D. 15. Post pr. ὑπό ras. 1 litt. C.) [*](16. ἡ] add D3. 17. ΖΔΕ — ὑπό] supra scr. D3. ΕΔΑ] EΔΑ γωνίαν D. 20. ΓΑ] ΓΑ ἄρα D. 21 ΓΔΑ] seq. ras. 1 litt. A.) τὴν ὑπὸ ΕΔΑ· καὶ διελόντι ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΑ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ Eucl. VI, 3, ὡς δὲ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΔΑ, οὕτως ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ Eucl. VI, 33· ἡ ΓΒ ἄρα εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν. τούτου δὴ οὖν ὑποκειμένου ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΑΒ καὶ ἡ ΑΓ, ὑποκείσθω δὲ πρῶτον ἡ μὲν ΑΒ ὑποτείνουσα μιᾶς μοίρας U+2220΄δʹ, ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν ᾱ. ἐπεὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ δὲ ΑΓ περιφέρεια ἐπίτριτός ἐστιν τῆς ΑΒ, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. ἀλλὰ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἐδείχθη τοιούτων ○ μζ η, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ· ἡ ἄρα ΓΑ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶν τῶν αὐτῶν ᾱ β ν· ταῦτα γὰρ ἐπίτριτά ἐστιν ἔγγιστα τῶν ○ μζ η.

[*](1. ΕΔΑ] ΑΔΕ D. διελόντι ἡ] διελόντηι D, ι supra scr. D3. ΕΔΑ] Α e corr. C2. εὐθεὶα] om. D. 4. εὐθεῖα] om. D. 5. ἡ (pr.)] om. C. ΒΔΑ] -Β e corr. D3.)[*](6. τήν — 7. πρός] mg. B1. 6 ἡ — 7. ΒΑ] add. C2. 8. περιφέρειαν ὅπερ δεῖ (ἔδει D3) δεῖξαι D. 9. ζ mg. D. οὖν] om. D. 13. ἡ μέν] μὲν ἡ D. 14 μιᾶς] supra scr. D3.)[*](15. ᾱ] mut. in αν D3. 17. ἡ] supra scr. A4, om. C. Μg. τὸ λῆμμα pro scholio BC. 20. ○] ο C, ut saepius. 21. ΓΑ] ΑΓ D. 22. ἐπίτριϲτα C. 23. η] supra scr. D3.)

Πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα ὑποκείσθω ὑποτείνουσα μοῖραν ᾱ, ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν ᾱU+2220΄. κατὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΑΒ ἐστιν ἡμιολία, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος. ἀλλὰ τὴν ΑΓ ἀπεδείξαμεν τοιούτων οὖσαν ᾱ λδ ῑε, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ· ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τῶν αὐτῶν ᾱ β ν· τούτων γὰρ ἡμιόλιά ἐστιν τὰ προκείμενα ᾱ λδ ῑε. ὥστε, ἐπεὶ τῶν αὐτῶν ἐδείχθη καὶ μείζων καὶ ἐλάσσων ἡ τὴν μίαν μοῖραν ὑποτείνουσα εὐθεῖα, καὶ ταύτην δηλονότι ἕξομεν τοιούτων ᾱ β ν ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ, καὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον, ἥτις εὑρίσκεται τῶν αὐτῶν ○ λα κε ἔγγιστα. καὶ συναναπληρωθήσεται τὰ λοιπά, ὡς ἔφαμεν, διαστήματα ἐκ μὲν τῆς πρὸς τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν λόγου ἕνεκεν ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου διαστήματος συνθέσεως τοῦ ἡμιμοιρίου δεικνυμένης τῆς ὑπὸ τὰς β μοίρας, ἐκ δὲ τῆς ὑπεροχῆς τῆς πρὸς τὰς γ μοίρας καὶ τῆς ὑπὸ τὰς β U+2220΄ διδομένης· ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν.

ἡ μὲν οὖν πραγματεία τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν οὕτως ἂν οἶμαι ῥᾷστα μεταχειρισθείη. ἵνα δέ, ὡς ἔφην, [*](3. περιφέρεια — 5. ΑΓ] mg. D3 (κείμενον). 4. ἡμιόλιός ἐστιν D3. ΓΑ ἄρα] ΑΓ D3. ΒΑ] ΑΒ D3. 6. οὖσαν] supr scr. D. 7. ΑΒ] ΒΑ D. 8. ᾱ λδ ῑε] corr. ex αλ διε D3.) [*](9. ὥστʼ D. 12. προυποδεδειγμένα D. 14 ὡς ἔφαμεν τὰ λοιπά D. 16. πρώτου] corr. ex ᾱ D3. συνθέσεως] D (-ς e corr.), τῆς συνθέσεως ABC. 19. καί ( pr.)] eras. D. 22. δέ] δʼ D. ἔφην] corr. ex ἔφη C2, ἔφη B.)

ἐφʼ ἑκάστης τῶν χρειῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς πηλικότητας ἔχωμεν τῶν εὐθειῶν ἐκκειμένας, κανόνια ὑποτάξομεν ἀνὰ στίχους με διὰ τὸ σύμμετρον, ὧν τὰ μὲν πρῶτα μέρη περιέξει τὰς πηλικότητας τῶν περιφερειῶν καθʼ ἡμιμοίριον παρηυξημένας, τὰ δὲ δεύτερα τὰς τῶν παρακειμένων ταῖς περιφερείαις εὐθειῶν πηλικότητας ὡς τῆς διαμέτρου τῶν ρκ τμημάτων ὑποκειμένης, τὰ δὲ τρίτα τὸ λ΄ μέρος τῆς καθʼ ἕκαστον ἡμιμοίριον τῶν εὐθειῶν παραυξήσεως, ἵνα ἔχοντες καὶ τὴν τοῦ ἑνὸς ἑξηκοστοῦ μέσην ἐπιβολὴν ἀδιαφοροῦσαν πρὸς αἴσθησιν τῆς ἀκριβοῦς καὶ τῶν μεταξὺ τοῦ ἡμίσους μερῶν ἐξ ἑτοίμου τὰς ἐπιβαλλούσας πηλικότητας ἐπιλογίζεσθαι δυνώμεθα. εὐκατανόητον δʼ, ὅτι διὰ τῶν αὐτῶν καὶ προκειμένων θεωρημάτων, κἂν ἐν δισταγμῷ γενώμεθα γραφικῆς ἁμαρτίας περί τινα τῶν ἐν τῷ κανονίῳ παρακειμένων εὐθειῶν, ῥᾳδίαν ποιησόμεθα τήν τε ἐξέτασιν καὶ τὴν ἐπανόρθωσιν ἤτοι ἀπὸ τῆς ὑπὸ τὴν διπλασίονα τῆς ἐπιζητουμένης ἢ τῆς πρὸς ἄλλας τινὰς τῶν δεδομένων ὑπεροχῆς ἢ τῆς τὴν λείπουσαν εἰς τὸ ἡμικύκλιον περιφέρειαν ὑποτεινούσης εὐθείας. καί ἐστιν ἡ τοῦ κανονίου καταγραφὴ τοιαύτη·

[*](1 χρειῶν] mut in χρήσεων D3. 3 ἀνά] ins D3. στίχους] ἀστίχους, -ί- corr. ex ο, D. 5. ἡμιμόριονι D. 6. περι- φερείαις] -ις e corr C. 8 λ΄] λ ABC, τριακοστόν D. ἡμι- μόριον D 9 ἵνα ἔχοντες] bis D, sed corr 10 ἀδιαφο- ροῦσαν] mut in ἀδιαφόρους ἄν A2. αἴσθησιν] -σιν in ras. B1.)[*](11. ἐξ ἑτοίμου] om C 12 ἐπιβαλλούσας] -πι- in ras B2.)[*](13. δυνάμεθα BC. δʼ] δέ D. 14. γενόμεθα C. 16. τήν] τῆ extr lin A, τήν A4. 20 καί ἐστιν] ἔστιν δέ D. 21. καταγραφή] διαγραφή D. ταύτη D.)

Ἐκτεθειμένης δὴ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν πρῶτον ἂν εἴη, καθάπερ εἴπομεν, δεῖξαι, πόσον ὁ λοξὸς καὶ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ἐγκέκλιται πρὸς τὸν ἰσημερινόν, τουτέστιν τίνα λόγον ἔχει ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν ἐκκειμένων πόλων μέγιστος κύκλος πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην αὐτοῦ μεταξὺ τῶν πόλων περιφέρειαν, ἴσην ἀπέχει δηλονότι καὶ τῶν τροπικῶν ἑκατέρου σημείων τὸ κατὰ τὸν ἰσημερινόν. αὐτόθεν δʼ ἡμῖν τὸ τοιοῦτον ὀργανικῶς καταλαμβάνεται διὰ τοιαύτης τινὸς ἁπλῆς κατασκευῆς.

ποιήσομεν γὰρ κύκλον χάλκεον σύμμετρον τῷ μεγέθει τετορνευμένον ἀκριβῶς τετράγωνον τὴν ἐπιφάνειαν, ᾧ χρησόμεθα μεσημβρινῷ διελόντες αὐτὸν εἰς τὰ ὑποκείμενα τοῦ μεγίστου κύκλου τμήματα τξ καὶ τούτων ἕκαστον, εἰς ὅσα ἐγχωρεῖ μέρη· ἔπειτα ἕτερον κυκλίσκον λεπτότερον ὑπὸ τὸν εἰρημένον ἐναρμόσαντες οὕτως, ὥστε τὰς μὲν πλευρὰς αὐτῶν ἐπὶ μιᾶς μένειν ἐπιφανείας, περιάγεσθαι δὲ ἀκωλύτως ὑπὸ τὸν μείζονα δύνασθαι τὸν ἐλάσσονα κύκλον ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ἄρκτους τε καὶ μεσημβρίαν, προσθήσομεν ἐπὶ δύο τινῶν κατὰ διάμετρον τμημάτων τοῦ ἐλάσσονος κύκλου κατὰ τῆς ἑτέρας τῶν πλευρῶν πρισμάτια μικρὰ [*](1 ιβ΄] om. AD. τῆς] corr. ex τῶν D3. 3. εἴπομεν] corr. ex εἴπωμεν B. 4. τῶν] om D. ἐγκέκληται C, corr. C2.) [*](8. ᾗ] ἥ A 9. τό] mut. in τά D3. 10. διαλαμβάνεται D.) [*](12. πε ρὶ κατασκευῆς mg, B, κατασκευῆς mg. C. 14. ᾧ] e corr. B, τῆς περιφερείας ᾡ D. 18. μέν — μιᾶς] bis C, sed corr. Post μένειν del — B. 22. κατά] τῶν κατά D, τῶν ins. B2, 23. κύκλου] κυκλίσκου D πρισμάτια] mut. in πηγμάτια C3, πηγμάτια corr. ex πριγμάτια D3.)

ἴσα νεύοντα πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὸ κέντρον τῶν κύκλων ἀκριβῶς παραθέντες κατὰ μέσου τοῦ πλάτους αὐτῶν γνωμόνια λεπτὰ συνάπτοντα τῇ τοῦ μείζονος καὶ διῃρημένου κύκλου πλευρᾷ. ὃν δὴ καὶ ἐναρμόσαντες ἀσφαλῶς ἐπὶ τῶν παρʼ ἕκαστα χρειῶν ἐπὶ στυλίσκου συμμέτρου καὶ καταστήσαντες ἐν ὑπαίθρῳ τὴν τοῦ στυλίσκου βάσιν ἐν ἀκλινεῖ πρὸς τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον ἐδάφει παραφυλάξομεν, ὅπως τὸ ἐπίπεδον τῶν κύκλων πρὸς μὲν τὸ τοῦ ὁρίζοντος ὀρθὸν ᾖ, τῷ δὲ τοῦ μεσημβρινοῦ παράλληλον· τούτων δὲ τὸ μὲν πρότερον διὰ καθετίου μεθοδεύεται κρημναμένου μὲν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐσομένου σημείου, τηρουμένου δέ, ἕως ἂν ἐκ τῆς τῶν ὑποθεμάτων διορθώσεως ἐπὶ τὸ κατὰ διάμετρον ποιήσηται τὴν πρόσνευσιν, τὸ δὲ δεύτερον μεσημβρινῆς γραμμῆς εὐσήμως εἰλημμένης ἐν τῷ ὑπὸ τὸν στυλίσκον ἐπιπέδῳ καὶ παραφερομένων εἰς τὰ πλάγια τῶν κύκλων, ἕως ἂν παράλληλον τῇ γραμμῇ τὸ ἐπίπεδον αὐτῶν διοπτεύηται. τοιαύτης δὴ τῆς θέσεως γινομένης ἐτηροῦμεν τὴν πρὸς ἄρκτους καὶ μεσημβρίαν τοῦ ἡλίου παραχώρησιν παραφέροντες ἐν ταῖς μεσημβρίαις τὸν ἐντὸς κυκλίσκον, ἕως ἂν τὸ ὑποκάτω πρισμάτιον ὅλον ὑφʼ ὅλου τοῦ ὑπεράνω [*](1. ἴσα] καὶ ἴσα D. 2 μέσου] corr. ex μέσον D3. 3. γνωμόνια λεπτὰ συν-] supra scr. D3, 4. ἐναρμόσαντες] corr. ex ἐναρμόζοντες D3. περὶ θέσεως mg. BC. 6. καταστήσαν- τες] καθιστάντες D. 7 ἀκλινεῖ% et mg. %ω (h. e παρ- αλλήλῳ) B. 9. τό] supra scr D 10 Post ras. 1. litt D.) [*](11. κρημναμένου] Β2D3, κριμναμένου ABCD. 12. σημείου] corr. ex σημεῖον C2. 13. ἄν] α extr. lin. A, corr. A ὑπο- θεματίων BD, corr. B2. 15. εὐσήμμως C. εἰλημμένης D.) [*](16 παραφερομένων] CD, πεαραιφερομένων A1B. 18. περὶ χρήσεως mg. BC. 21. μεσημβρίναις D, sed corr. 22 πρισμά- τιον] mut. in πηγμάτιον C3: πηγμάτιον, η e corr., D τοῦ] corr ex τό D3.) σκιασθῇ. καὶ τούτου γινομένου διεσήμαινεν ἡμῖν τὰ τῶν γνωμονίων ἄκρα, πόσα τμήματα τοῦ κατὰ κορυφὴν ἑκάστοτε τὸ τοῦ ἡλίου κέντρον ἀφέστηκεν ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ.

ἔτι δὲ εὐχρηστότερον ἐποιούμεθα τὴν τοιαύτην παρατήρησιν κατασκευάσαντες ἀντὶ τῶν κύκλων λιθίνην ἢ ξυλίνην πλινθίδα τετράγωνον καὶ ἀδιάστροφον, ὁμαλὴν μέντοι καὶ ἀποτεταμένην ἔχουσαν ἀκριβῶς τὴν ἑτέραν τῶν πλευρῶν, ἐφʼ ἧς κέντρῳ χρησάμενοι σημείῳ τινὶ πρὸς τῇ μιᾷ τῶν γωνιῶν ἐγράψαμεν κύκλου τεταρτημόριον, ἐπιζεύξαντες ἀπὸ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον σημείου μέχρι τῆς γεγραμμένης περιφερείας τὰς τὴν ὑπὸ τὸ τεταρτημόριον ὀρθὴν γωνίαν περιεχούσας εὐθείας καὶ διελόντες ὁμοίως τὴν περιφέρειαν εἰς τὰς μοίρας καὶ τὰ τούτων μέρη. μετὰ δὲ ταῦτα ἐπὶ μιᾶς τῶν εὐθειῶν τῆς μελλούσης ὀρθῆς τε ἔσεσθαι. πρὸς τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον καὶ πρὸς μεσημβρίαν τὴν θέσιν ἕξειν ἐμπολίσαντες ὀρθὰ καὶ ἴσα πάντοθεν δύο κυλίνδρια μικρὰ κατὰ τὸ ὅμοιον τετορνευμένα, τὸ μὲν ἐπ’ αὐτοῦ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον σημείου περὶ αὐτὸ τὸ μέσον ἀκριβῶς, τὸ δὲ πρὸς τῷ κάτω πέρατι τῆς [*](1. σκιασθῇ] σ- euan. A. διεσήμανεν corr in διεσήμη- νεν D3 2. γνωμόνων D. 5. περὶ κατασκευῆς πλινθίδων mg BC. εὐχρηστοτέραν D. 6. λιθήνην B. 7. πληνθίδα BCD, corr. D3. ἀδιάστροφον] A, add. ἐν (om. D) συμμέτρᾳ πλάτει καὶ βάθει πρὸς τὸ βεβηκέναι κατὰ κρόταφον BD, et mg. pro scholio C (οἶμαι σφάλμα add. eadem manu). 8. ἀπο- τε| τεταμένην D. 10. ἔγράψαμεν] ἐγρ- in ras. A. 11. κέν- τρου D. 12. σημείου] corr. ex σημεῖον C. τάς] supra scr A1. 14. διελόντες] corr. ex. διελθόντες B2C. 15. ἐπί] κατά D 16. μελούσης D. τε ἔσεσθαι] τίθεσθαι D. 17. πρός (pr.) — καί] om. B, mg. C3. 18. ἐμπολίσαντες] mut. in ἐνεπολίσα |τες B2, ἐνεπολήσαμεν D. 19. κυλίνδρια] post υ eras. κ D. ὅμοιον] ὅ- ins. D3.)

εὐθεέας, ἔπειτα ἱστάντες ταύτην τὴν καταγεγραμμένην τῆς πλινθίδος πλευρὰν παρὰ τὴν ἐν τῷ ὑποκειμμεένῳ ἐπιπέδφ διηγμένην μεσημβρινὴν γραμμήν, ὥστε καὶ αὐτὴν παράλληλον ἔχειν τὴν θέσιν τῷ τοῦ μεσημβρπτνοῦ ἐπιπέδφ, καὶ καθετίῳ διὰ τῶν κυλινδρίων ἀκλινῆ τε καὶ ὀρθὴν πρὸς τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὁρίζοντος τὴν διʼ αὐτῶν εὐθεῖαν ἀκριβοῦντες ὑποθεματίων πάλιν τινῶν λεπτῶν τὸ ἐνδέον διορθουμένων ἐτηροῦμεν ὡσαύτως ἐν ταῖς μεσημβρίαις τὴν ἀπὸ τοῦ πρὸς τῷ κέντρῳ κολινδρίον γινομένην σκιὰν παρατιθέντες τι πρὸς τῇ καταγεγραμμένῃ περιφερείᾳ πρὸς τὸ καταδηλότερον αὐτῆς τὸν τόπον φαίαεσθαι καὶ ταύτης τὸ μέσον σημειούμενοι τὸ κατʼ αὐτοῦ τμῆμα τῆς τοῦ τεταρτημορίου περιφερείας ἐλαμβάνομεν διασημαῖνον δηλονότι τὴν κατὰ πλάτος ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ πάροδον τοῦ ἡλίου.

ἐκ δὴ τῶν τοιούτων παρατηρήσεων καὶ μάλιστα τῶν περὶ τὰς τροπὰς αὐτὰς ἡμῖν ἀνακρινομένων ἐπὶ πλείονας περιόδους τὰ ἴσα καὶ τὰ αὐτὰ τμήματα τοῦ μεσημβρινοῦ κύκλου καὶ κατὰ τὰς θερινὰς τροπὰς καὶ κατὰ τὰς χειμερινὰς τῆς σημειώσεως ὡς ἐπίπαν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἀπολαμβανούσης σημείου κατελαβόμεθα τὴν ἀπὸ τοῦ βορειοτάτου πέρατος ἐπὶ τὸ νοτιώτατον περιφέρειαν, ἥτις ἐστὶν ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν [*](1. περὶ θέσεως mg BC 3. γραμήν C. 5. κυλίνδρων D, deinde del ἀκριβεῖ τε καί. 6. ἀκλινῆ ] ἀκλινεῖ D. τε] postea ins. D. 7 πάλιν τινῶν B. 8. λεπτῶν] in ras D, λεπτόν BC. περὶ χρήσεως mg. BC. 9. ὡσαύτως] ὁμοίως D.) [*](τὸ κέντρον D 10. κυλίνδρον D. 13. αὐτοῦ] αὐτο seq. ras. 1 litt. D. 14 διασημαῖνον] δ- in ras. A. 17. δή] postea ins. B. 20. κατά] supra scr A. 21 ὡς] supra scr. A. 22 σημείου] corr ex σημεῖον C, supra scr D3. 24. περιφέρειν A.) [*](ἐστί A ἡ] supra scr A τροπικῶν] τ- postea ins. C.)

τμημάτων, πάντοτε γινομένην μζ καὶ μείζονος μὲν ἢ διμοίρου τμήματος, ἐλάσσονος δὲ ἡμίσους τετάρτου, διʼ οὗ συνάγεται σχεδὸν ὁ αὐτὸς λόγος τῷ τοῦ Ἐρατοσθένους, ᾧ καὶ ὁ Ἵππαρχος συνεχρήσατο· γίνεται γὰρ τοιούτων ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν ῑᾱ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ὁ μεσημβρινὸς πγ.

εὔληπτα δὲ αὐτόθεν ἐκ τῆς προκειμένης παρατηρήσεως γίνεται καὶ τὰ τῶν οἰκήσεων, ἐν αἷς ἂν ποιώμεθα τὰς τηρήσεις, ἐγκλίματα λαμβανομένων τοῦ τε μεταξὺ σημείου τῶν δύο περάτων, ὃ γίνεται κατὰ τὸν ἰσημερινόν, καὶ τῆς μεταξὺ τούτου τε καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου περιφερείας, ᾗ ἴσην δηλονότι καὶ οἱ πόλοι τοῦ ὁρίζοντος ἀφεστήκασιν.

ιγ΄. Προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις.

Ἀκολούθου δʼ ὄντος ἀποδεῖξαι καὶ τὰς κατὰ μέρος γινομένας πηλικότητας τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν μεταξὺ τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν γραφομένων μεγίστων κύκλων διὰ τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ πόλων προεκθησόμεθα λημμάτια βραχέα καὶ εὔχρηστα, διʼ ὧν τὰς πλείστας σχεδὸν δείξεις τῶν σφαιρικῶς θεωρουμένων, ὡς ἔνι μάλιστα, ἁπλούστερον καὶ μεθοδικώτερον ποιησόμεθα.

εἰς δύο δὴ εὐθείας τὰς ΑΒ καὶ ΑΓ διαχθεῖσαι [*](2. δέ] δὲ ἤ D. 3 τῷ] τὸ C. 5. μεταξύ] -ξ- postea ins. C. 13. πόλοι] πολλοί C. 14 ιγ΄] C, γι B, om. AD.) [*](15. ὄντος] -ν- ins. D3. 17. μέσου D. 21. σφαιρικῶν θεωρημάτων D, supra scr. σφαιερικῶς θεωρουμένων D3. 23. εἰς δύο δή] postea ins D. α΄ λῆμμα εὐθύγραμμον κατὰ σύν- θεσιν mg. BC.)

δύο εὐθεῖαι ἢ τε Β Ε καὶ ἡ Γ Δ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον.

λέγω, ὅτι ὁ τῆς ΓΑ πρὸς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε.

ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Γ Δ παράλληλος ἡ Ε Η. ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ Γ Δ καὶ Ε Η, ὁ τῆς Γ Α πρὸς Ε Α λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Γ Δ πρὸς Ε Η Eucl. VI, 4. ἔξωθεν δὲ ἡ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Δ πρὸς Ε λόγος συγκείμενος ἔσται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε ὥστε καὶ ὁ τῆς Γ Α πρὸς Α Ε λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε. ἔστιν δὲ καὶ ὁ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε Eucl. VI, 4 διὰ τὸ παραλλήλους πάλιν εἶναι τὰς Ε καὶ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Α πρὸς ΑΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε ὅπερ προέκειτο δεῖξαι.

κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δειχθήσεται, ὅτι καὶ κατὰ διαίρεσιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α, διὰ τοῦ Α τῇ Ε Β παραλλήλου ἀχθείσης καὶ προσεκβληθείσης ἑπ᾿ αὐτὴν τῆς ΓΔΗ. ἐπεὶ γὰρ πάλιν παράλληλός [*](1. ΓΔ] Δ Γ D. 7 Ε Α] Α Ε D. 9 ἔξωθεν δέ] καὶ ἔξωθεν D. 10 πρός] corr. ex πρό D 11 Δ Ζ] Ζ Δ D.) [*](1. Δ Ζ] Ζ Δ D. Η Ε] Ε Η D. 15. Η Ε] Ε Η D. 16. Η Ε) ΕΗ D. 17 Ζ Β] Β Ζ D 20 Ζ Β] Β Ζ D. 21. β λῆμμα κατὰ διαίρεσιν mg. BC. 23 Δ Ζ] Ζ Δ D. Δ Β] Β Δ D, Δ Β mg. D3. 24 τῇ] seq ras 1 litt B. παραλλήλου] πᾶλλήλου D. 25 Γ Δ Η] corr ex Γ Δ D3)

ἐστιν ἡ Α Η τῇ Ε Ζ, ἔστιν, ὡς ἡ Γ Ε πρὸς Ε Α, ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ Η Eucl. VI, 2. ἀλλὰ τῆς Ζ Δ ἔξωθεν λαμβανομένης ὁ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Ζ Η ἔστιν δὲ ὁ τῆς Δ πρὸς Ζ Η λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Δ Β πρὸς Β Α διὰ τὸ εἰς παραλλήλους τὰς Α Η καὶ Ζ Β διῆχθαι τὰς Β Α καὶ Ζ Η ὁ ἄρα τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α. ἀλλὰ τῷ τῆς Γ Ζ πρὸς Ζ Η λόγῳ ὁ αὐτός ἐστιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α καὶ ὁ τῆς Γ Ε ἄρα πρὸς Ε Α λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ οὗ κέντρον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχόντα τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, Β Γ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α Γ καὶ ΔΕΒ.

[*](1 τῇ] τῆς BC. 2. πρός] bis D. 3 λαμβανομένης] corr. ex λαμβαμομένης B2. προσ D. 6. Δ Ζ] Ζ Δ D. 12. Δ Ζ] Ζ Δ D. Δ Β] Β Δ D, Δ Β mg D3. 14 καί — E A] om. BC. Ε Α (alt )] corr ex D3. 15 ΓΖ — τῆς] mg. 1.)[*](ΓΖ] ΖΓ D. Δ Ζ] Ζ Δ D. 16. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. D)[*](17. γʹ λῆμμα κυκλικόν mg. BC 20. τά] om. D 24 λαμ- βανομένων] λ corr. ex ε D. 25. ὅμοιον] αὐτό corr. ex αὐτῶ D.)[*](αἱ] bis C.)

λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ οὕτως ἡ Α Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Ε Γ εὐθεῖαν.

ἤχθωσαν γὰρ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α καὶ Γ σημείων ἐπὶ τὴν Δ Β ἥ τε Α Ζ καὶ ἡ Γ Η. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ Α τῇ Γ Η, καὶ διῆκται εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΑΕΓ, ἔστιν, ὡς ἡ Δ Ζ πρὸς τὴν Γ Η, οὕτως ἡ Α Ε πρὸς Ε Ι Eucl. VI, 4. ἀλλʼ ὁ αὐτός ἐστιν λόγος ὁ τῆς Α πρὸς Γ Η καὶ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ ἡμίσεια γὰρ ἐκατέρα ἑκατέρας· καὶ ὁ τῆς Α Ε ἄρα πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

παρακολουθεῖ δʼ αὐτόθεν, ὅτι, κἂν δοθῶσιν ἢ τε Α Γ ὅλη περιφέρεια καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ, δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν Α Β καὶ Β Γ περιφερειῶν. ἐκτεθείσης γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἐπεζεύχθω ἡ Α Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν Α Ε Γ ἡ Δ Ζ. ὅτι μὲν οὖν τῆς Α Γ περιφερείας δοθείσης ἥ τε ὑπὸ Α Δ Ζ [*](1. τῆς — 2. Β Γ]. mg BC3, τῆς BΓ etiam in textu BC.) [*](3. πρός] supra scr. D3, 6. εὐθεῖα] corr. ex εὐθείας D 8. Ε Γ] τὴν Ε Γ D. ὁ (alt.)] om. D. 9. τῆς (pr)] corr. ex τῆ D3. 10. περιφερείας] supra scr. D. 12. Ε Γ] την Ε Γ D.) [*](13. Β Γ] D. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] supra scr. D3. 14. δʼ] comp. ins. D3. 15. Α Γ] corr. ex Γ Α D3. Post ὅλη del. ἡ D3. 17. τήν] τ- e corr. C. 18. Β Γ] corr. ex Γ Β D3. 19. καί] ins D3. 23. ΑΕΓ] corr ex ΔΕΓ BC2.)

γωνία τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς ὑποτείνουσα δεδομένη ἔσται καὶ ὅλον τὸ Α Δ Ζ τρίγωνον, δῆλον· ἐπεὶ δὲ τῆς Α Γ εὐθείας ὅλης δεδομένης ὑπόκειται καὶ ὁ τῆς Α Ε πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ, ἥ τε Α Ε ἔσται δοθεῖσα dat. 7 καὶ λοιπὴ ἡ Ζ Ε. καὶ διὰ τοῦτο καὶ τῆς Δ Ζ δεδομένης δοθήσεται καὶ τε ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία τοῦ ΕΔΖ ὀρθογωνίου καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ Α Δ Β ὥστε καὶ ἥ τε Α Β περιφέρεια δοθήσεται καὶ λοιπὴ ἡ Β Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ Α Β Γ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, ΑΓ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπιζευχθεῖσαι ἥ τε Δ Α καὶ ἡ Γ Β ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ε σημεῖον.

[*](1. δεδομένη] seq. ras. 1 litt. D. 2 τρίγωνον] τρίγωνον ὀρθογώνιον D. δέ] δὲ καί D. 3. ὁ] supra scr. D3. Α Ε] seq. ras. 3 litt. D. 5. Β Γ] Γ Β D. 6. Ζ Ε] Ε Ζ, Ε in ras., D. 7. δεδομένης] alt. δ supra scr. D3. 8. γωνία τοῦ Ε Δ Ζ] om. D. 10. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. D. 11. Α Β Γ] Α D. Mg. τρίτον τῶν κυκλικῶν B3. 12. σημεῖα] ση |μεῖα, post η ras. 1 litt, A. 13. ὥστε — 15. ὑπακουέσθω] om. D.)[*](13. Supra Α Γ scr. Β Γ C2. 16. ἐπιζευχθεῖσα D. Γ Β] Β Γ D.)

λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Β Ε.

ὁμοίως γὰρ τῷ προτέρῳ λημματίῳ, ἐὰν ἀπὸ τῶν Β καὶ Γ ἀγάγωμεν καθέτους ἐπὶ τὴν Δ Α τήν τε ΒΖ καὶ τὴν Γ Η, ἔσται διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς εἶναι, ὡς ἡ Γ Η, πρὸς τὴν Β Ζ, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β Eucl. VI, 4. ὥστε καί, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

καὶ ἐνταῦθα δὲ αὐτόθεν παρακολουθεῖ, διότι, κἂν ἡ Γ Β περιφέρεια μόνη δοθῇ, καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β δοθῇ, καὶ ἡ Α Β περιφέρεια δοθήσεται. πάλιν γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς ἐπιζευχθείσης τῆς Δ Β καὶ καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν Β Γ τῆς Δ Ζ ἡ μὲν [*](1. Γ Α] Α Γ D. 2. οὕτως] corr. ex οὕτω A1. 4. γάρ] om. BC. 6. ἔσται] om. D. 7. ὡς] γίνεται ὡς D. ἡ (pr)] ins. D. Β Ζ] Ζ Β D. πρὸς τήν] πρός corr. ex πρό D.) [*](8. ὡς] supra scr. D3. 10. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] ο>: AC, περιφέρειαν comp. B, om. D. 11. ςʹ mg. A. δέ] δʼ D.) [*](12. ἡ] ἥ τε D. δοθῇ] δοθείη D. ὁ (pr.)] om. D. 13 τῆς (pr) — διπλῆν] ins. B3. Γ Α] -Α in ras A. Γ Α — 14. Α Β (pr.)] supra scr. C2. 13. πρὸς τήν] corr. ex πρ ?? D3.) [*](14. Α Β (pr.)] etiam in textu C. δοθῇ] del. B3, δοθήσεται D.) [*](δοθήσεται] om. D.)

ὑπὸ Β Δ Ζ γωνία τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς Β Γ περιφερείας ἔσται δεδομένη· καὶ ὅλον ἄρα τὸ Β Δ Ζ ὀρθογώνιον. ἐπεὶ δὲ καὶ ὅ τε τῆς Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β λόγος δέδοται καὶ ἔτι ἡ Γ Β εὐθεῖα, δοθήσεται καὶ ἥ τε Ε Β καὶ ἔτι ὅλη ἡ Ε Β ὥστε καί, ἐπεὶ ἡ Δ Ζ δέδοται, δοθήσεται καὶ ἥ τε ὑπὸ Ε Δ Ζ γωνία τοῦ αὐτοῦ ὀρθογωνίου καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ Ε Δ Β. ὥστε καὶ ἡ Α Β περιφέρεια ἔσται δεδομένη.

τούτων προληφθέντων γεγράφθωσαν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, ὥστε εἰς δύο τὰς Α Β καὶ Α Γ δύο γραφείσας τὰς Β Ε καὶ Γ Δ τέμνειν ἀλλήλας κατὰ τὸ σημεῖον· ἔστω δὲ ἑκάστη αὐτῶν ἐλάσσων ἡμικυκλίου· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν καταγραφῶν ὑπακουέσθω.

λέγω δή, ὅτι ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὰς Β, Ζ, Ε τομὰς τῶν κύκλων ἥ τε Η Β καὶ ἡ Η Ζ καὶ ἡ Η Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α Δ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ Η Β ἐκβληθείσῃ καὶ αὐτῇ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὁμοίως δὲ [*](2. ἄρα] supra scr. D3. 3. ὀρθογώνιον] τρίγωνον D. 5. ὥστε καί, ἐπεί] ὥστʼ ἐπεὶ καί D. 7. ὀρθογωνίου] τριγώνου D.) [*](9. θεώρημα κατὰ διαίρεσιν mg. B. 11. γραφείσας] corr. ex γραφθείσας C2. 12. σημεῖον] om. D 13. ἐλάττων D.) [*](δέ δʼ D. 14 ὑπακουέσθω] ὑπακουέσθω ἡμῖν D. 16. τῆς — 17. διπλῆν] D, mg. A4BC3 κείμενον add. B3. 16 E Α] Ε Δ Β, γρ εα B3. 18 ὑπὸ τήν ( pr.)] bis A. 21. ἀπὸ τοῦ Η] ἀπʼ αὐτοῦ D. Β, Ζ, Ε] Β Ε Ζ D. 22 ἡ ( pr.)] om. BC καί ⟨tert.⟩] ς καί D.)

ἐπιζευχθεῖσαι αἱ Δ Γ καὶ Α Γ τεμνέτωσαν τὰς Η Ζ καὶ Η Ε κατὰ τὸ Κ καὶ Λ σημεῖον· ἐπὶ μιᾶς δὴ γίνεται εὐθείας τὰ Θ, Κ, Λ σημεῖα διὰ τὸ ἐν δυσὶν ἅμα εἶναι ἐπιπέδοις τῷ τε τοῦ Α Γ Δ τριγώνου καὶ τῷ τοῦ Β Ζ Ε κύκλου, ἥτις ἐπιζευχθεῖσα ποιεῖ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΘΛ καὶ Γ Α διηγμένας τὰς Θ Λ καὶ Γ Δ τεμνούσας ἀλλήλας κατὰ τὸ Κ σημεῖον· ὁ ἄρα τῆς Γ Λ πρὸς Λ Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Κ πρὸς Κ Δ καὶ τοῦ τῆς Δ πρὸς p. 69, 21. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Γ Λ πρὸς Λ Α, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α περιφερείας, ὡς δὲ ἡ Γ Κ πρὸς Κ Δ, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ p.70,17, ὡς δὲ ἡ Θ Δ πρὸς Θ Α, οὕτως ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α p.72, 11. καὶ ὁ λόγος ἄρα ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ [*](1. αἱ] supra scr. C3. Α Γ] corr. ex Δ 2. τό] τά D. σημεῖα D. εὐθείας γίνεται D. 3. διά] comp. Β, δι B3. 7. ἐπιζευχθεῖσα] ante σ ras. 2 litt. A. 11. Θ Λ] corr. ex Ο Λ D3. 15 Γ Λ] corr. ex Γ Δ D. 17. ὑπό] supra scr. D. τήν] supra scr. D3. Ε Α] Ε Λ corr. ex Ε Δ B, Ε Α mg. B3. 18. Κ Δ] corr. ex Κ Λ B3C3. 19. Ζ Δ] ΔΖ D. Θ Δ] AC, corr. ex ΔΘ B2, ΔΘ C3D. 20. ΔB — 21. τῆς] om. B, mg. C3. δβτ mg. B3. 20.περιφερείας] om. C3.) [*](21. τῆς] corr. ex τῆ D. τῆς Β Α] mg. C alio atramento. 22. τῆς (pr)] om. D. ὑπὸ (alt.)] e corr. D3. 24. Ante Ε ras. 1 litt. A.) πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α.

κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῆς ἐπιπέδου καταγραφῆς τῶν εὐθειῶν p. 68, 23 δείκνυται, ὅτι καὶ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Δ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε ἅπερ προέκειτο δεῖξαι.

Τούτου δὴ τοῦ θεωρήματος προεκτεθειμένου ποιησόμεθα πρώτην τὴν τῶν προκειμένων περιφερειῶν ἀπόδειξιν οὕτως.

ἔστω γὰρ ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ τὸ μὲν τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ, τὸ δὲ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΒΕΔ, τὸ δὲ Ε σημεῖον ἡ κατὰ τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν αὐτῶν τομή, ὥστε τὸ μὲν Β χειμερινὸν τροπικὸν εἶναι, τὸ δὲ Δ θερινόν, εἰλήφθω δὲ ἐπὶ τῆς ΑΒ Γ περιφερείας [*](2. τῆς Δ Β — διπλῆν] supra scr. D3. τὴν ὑπό] postea ins. A1. 3. δή] δέ D. καὶ ὥσ-] in ras. A. 4. ὅτι] corr. ex διότι D. 7. διπλῆν (alt.)] -ι- corr. ex η A. 8. Δ Ζ] Ζ Δ D.) [*](9. προέκειτο] corr. ex πρόκειται τό D3. 10. ιδ΄] C, δι B, om. AD. περί — 11. περιφερειῶν] mg D3, 10 τοῦ (pr.)] τοῦ τε D3. 12. δή] om. D. 13. τήν] om. D. 23. τό] καὶ τό D.) [*](εἶναι τροπικόν D.)

ὁ πόλος τοῦ ΑΕΓ ἰσημερινοῦ καὶ ἔστω τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΕΗ περιφέρεια τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων ὑποκειμένη λ, οἵων ἐστὶν ὁ μέγιστος κύκλος τξ, διὰ δὲ τῶν Ζ, Η γεγράφθω μεγίστου κύκλου περιφέρεια ἡ Ζ Η Θ, καὶ προκείσθω τὴν Η Θ δηλονότι εὑρεῖν. προειλήφθω δὴ καὶ ἐνταῦθα καὶ καθόλου ἐπὶ πασῶν τῶν ὁμοίων δείξεων, ἵνα μὴ καθʼ ἑκάστην ταυτολογῶμεν, ὅτι, ὅταν τὰς πηλικότητας λέγωμεν περιφερειῶν ἢ εὐθειῶν, ὅσων εἰσὶν μοιρῶν ἢ τμημάτων, ἐπὶ μὲν τῶν περιφερειῶν τοιούτων φαμέν, οἵων ἡ τοῦ μεγίστου κύκλου περιφέρεια τμημάτων τξ, ἐπὶ δὲ τῶν εὐθειῶν τοιούτων, οἵων ἡ τοῦ κύκλου διάμετρος ρκ.

ἐπεὶ τοίνυν ἐν καταγραφῇ μεγίστων κύκλων εἰς δύο τὰς Α Ζ καὶ Α Ε περιφερείας γεγραμμέναι εἰσὶ δύο ἥ τε ΖΘ καὶ ἡ Ε Β τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Κ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β p. 76, 3. ἀλλ᾿ ἡ μὲν τῆς Ζ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, ἡ δὲ τῆς Α Β διπλῆ κατὰ τὸν συμπεφωνημένον p. 68, 4. ἡμῖν τῶν πγ πρὸς τὰ ια λόγον μοιρῶν μζ μβ μ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λα νε, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Η Ε περιφερείας [*](6. δή] δέ D. 9. εἰσίν] εἰσί in ras. 1 litt. B3. 10. ἤ] supra scr. D3, 11. ἡ — τμημάτων] ὁ μέγιστος κύκλος D.) [*](μεγίστου] mg B, om C. 15. εἰσί] comp B, εἰσίν D. 16. ΕΒ] Β Ε D. 17. πρὸς τήν] πρὸ |στὴν] D, post ό add. σ D3.) [*](19. Θ Ζ] A, Ζ Θ BCD. 24. πρός] corr. ex πρώ C3.)

διπλῆ μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ τῆς Ε Β διπλῆ μοιρῶν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ρκ, καταλείπεται ὁ λόγος τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ κδ ιε νζ. καί ἐστιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ζ Θ περιφερείας μοιρῶν ρπ, ἡ δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἐστιν κδ ιε νζ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Θ Η περιφερείας μοιρῶν ἐστιν κγ ιθ νθ, αὐτὴ δὲ ἡ Θ Η τῶν αὐτῶν ια μ ἔγγιστα.

πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε περιφέρεια μοιρῶν ξ, ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ε Η γίνεσθαι μοιρῶν ρκ, τὴν δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ργ νε κγ. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ρκ, καταλειφθήσεται ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ μβ α μη. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ τμημάτων ρκ ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπτλῆν τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἔσται μβ α μη. καὶ ἡ μὲν διπλῆ ἄρα τῆς Θ H περιφερείας μοιρῶν ἐστιν μα ο ιη, ἡ δὲ Θ Η τῶν αὐτῶν κ λ θ· ἅπερ ἔδει δεῖξαι.

[*](2. ρπ] ρ- corr. ex ο D3. ὑπ᾿] ὑπό D. 3. τμημάτων] -ν supra scr. D3. 5. καταλείπεται] λείπεται D. 6. Ζ Θ] corr. ex Ξ Θ D. 7. ιε νζ] corr. ex ιν νε D 8 περιφερείας] ς supra scr. D δέ] δʼ D. 9. τῶν] τόν C. 10. νζ] κζ BC, mg. ν B. 11. νθ] νη D. 12 μ] λθ νθ in ras. D3. ἔγγιστα] in ras. D3. 15. δέ] δʼ D. 18. ὁ (alt.)] corr. ex ὑ C. 19. Θ Η] 6 e corr. D3. 20. πρὸς τά] corr. ex πρὸ στὰ D3. 21. ρκ] ἑκάτων εἴκοσι mut. in ἑκατὸν εἴκοσῖ D3. 24. λ] in ras. A.)

τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ μέρος περιφερειῶν ἐπιλογιζόμενοι τὰς πηλικότητας ἐκθησόμεθα κανόνιον τῶν τοῦ τεταρτημορίου μοιρῶν παρακειμένας ἔχον τὰς πηλικότητας τῶν ὁμοίων ταῖς ἀποδεδειγμέναις περιφερειῶν· καί ἐστιν τὸ κανόνιον τοιοῦτον·

[*](2. ἐπιλογισάμενοι, sec. -ι- corr. ex -η-, D. 5. περιφε- ρειῶν] περιφερείαις A.)

Ἐξῆς δʼ ἂν εἴη συναποδεῖξαι τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερειῶν τὰς γινομένας πηλικότητας ὑπὸ τῶν γραφομένων κύκλων διά τε τῶν πόλων αὐτοῦ καὶ τῶν διδομένων τοῦ λοξοῦ κύκλου τμημάτων· οὕτω γὰρ ἕξομεν, ἐν ὁπόσοις χρόνοις ἰσημερινοῖς τὰ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τμήματα διελεύσεται τόν τε μεσημβρινὸν πανταχῆ καὶ τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα διὰ τὸ καὶ αὐτὸν τότε μόνον διὰ τῶν πόλων γράφεσθαι τοῦ ἰσημερινοῦ.

ἐκκείσθω τοίνυν ἡ προδεδειγμένη καταγραφή, καὶ δοθείσης πάλιν τῆς Ε Η περιφερείας τοῦ λοξοῦ κύκλου πρότερον τμημάτων λ δέον ἔστω τὴν Ε Θ τοῦ ἰσημερινοῦ περιφέρειαν εὑρεῖν.

κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς ἔμπροσθεν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Η πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Θ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α p. 74, 15. ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς Ζ Β περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρλβ ιζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ, ἡ δὲ τῆς Β Α μοιρῶν μζ μβ μ [*](1. ιϛʹ] ςι B, om. ACD. συναναφορῶν D. 22. ἰσημερινοῦ] B C D, ἰσημερινοῦ κύκλου A, κύκλου mg. pro scholio B.C. 5. οὕτως D. 6. -ν ἐν ὁπ-] postea ins. A1. 19. λόγος] -ς in ras D3, seq. ras. 4 litt συνῆπται] σύγκειται D. 20. τῆς (alt.) — 21. Η Θ] supra scr C3. 21. Ζ — Η Θ] mg. B3. πρὸς τήν] καὶ τῆς C3. τῆς Η Θ] etian in textu C, Η Θ in textu B.) [*](καί] καὶ ἐκ D. 22. Θ E] E Θ D. 24. ὑπό] A, ὑπʼ B C D.) [*](25. Β Α] Β Α διπλῆ D. μ] corr ex ζ D.)

καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λ νε καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Ζ Η περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ρ μ α καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ λα ιε, ἡ δὲ τῆς Η Θ μοιρῶν κγ ιθ νθ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κδ ιε νζ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριζ λα ιε πρὸς τὰ κδ ιε νζ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α λόγος ὁ τῶν νδ νβ κς πρὸς τὰ ριζ λα ιε· ὁ δʼ αὐτὸς λόγος ἐστὶν καὶ τῶν νς α κε πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΕΑ μοιρῶν ρπ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Θ Ε τμημάτων τῶν αὐτῶν ἐστιν νς α κε. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Θ Ε περιφερείας ἔσται μοιρῶν νε μ ἔγγιστα, ἡ δὲ Θ Ε τῶν αὐτῶν κζ ν.

πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε Η περιφέρεια μοιρῶν ξ, ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ζ περιφερείας γίνεσθαι μοιρῶν ρλη νθ μρ καὶ τὴν ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριβ κγ νς, τὴν δὲ διπλῆν τῆς Η Θ περιφερείας μοιρῶν μα ο ιη καὶ τὴν ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μβ α μη. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μ λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριβ κγ νς πρὸς τὰ μβ α μη, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν [*](1. ὑπό) A, ὑπ᾿ B CD. 2. ρνς μ α] B, ρν ς μα A, ρνς μ β B3, ρνς μα C, ρνς μςβ D. 3. ὑπό] AC, corr. ex ὑπʼ B, ὑπ᾿ D.) [*](4. Η Θ] Η Θ περιφερείας διπλασίων D. ὑπό] AC, ὑπ᾿ B D.) [*](5. ἐάν] bis D, sed corr. ρθ] corr. ex D3. 7. ὁ] in ras. C. 10. καί] καὶ ὁ D. κε] corr. ex νγ D3, νγ in ras. B3.) [*](11. ὑπʼ] corr. ex ἀπʼ C. 13. τμημάτων] supra scr. D3. κε] corr. ex νγ D3. 15. Post μ ras. 1 litt. D. 20. Η Θ] AB3C2D, Ζ Η BC. περιφερείας] om. D. 21. ἄρα] ἄρα πάλιν D. 22. λα] corr. ex λβ D3. λόγουσ, σ eras., D.)

διπλῆν τῆς Ε Α ὁ τῶν ??ε β μ πρὸς τὰ ριβ κγ νς ὁ δʼ αὐτὸς τούτῳ λόγος ἐστὶν καὶ ὁ τῶν ρα κη κ πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α περιφερείας εὐθεῖα τμημάτων ρκ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε τῶν αὐτῶν ἐστιν ρα κη κ. καὶ ἡ μὲν διπλῆ ἄρα τῆς Θ Ε περιφερείας ἔσται μοιρῶν ριε κη ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ Θ Ε τῶν αὐτῶν νζ μδ.

καὶ δέδεικται, ὅτι τὸ μὲν α΄ ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ σημείου δωδεκατημόριον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου συγχρονεῖ τοῖς τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸν ἐκκείμενον τρόπον τμήμασιν κζ ν, τὸ δὲ δεύτερον τμήμασιν κθ νδ, ἐπειδήπερ ἀμφότερα ἀπεδείχθη μοιρῶν νζ μδ· καὶ τὸ τρίτον δὲ δηλονότι δωδεκατημόριον συγχρονίσει ταῖς λοιπαῖς εἰς τὸ τεταρτημόριον μοίραις λβ ις διὰ τὸ καὶ ὅλον τὸ τοῦ λοξοῦ κύκλου τεταρτημόριον ὅλῳ τῷ τοῦ ἰσημερινοῦ συγχρονίζειν ὡς πρὸς τοὺς διὰ τῶν πόλων τοῦ ἰσημερινοῦ γραφομένους κύκλους.

τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον τῇ προκειμένῃ δείξει κατακολουθοῦντες ἐπελογισάμεθα καὶ τὰς ἑκάστῃ δεκαμοιρίᾳ τοῦ λοξοῦ κύκλου συγχρονούσας περιφερείας τοῦ ἰσημερινοῦ διὰ τὸ τὰς ἔτι τούτων μικρομερεστέρας μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρειν τῶν πρὸς ὁμαλὴν παραύξησιν ὑπεροχῶν. ἐκθησόμεθα οὖν καὶ ταύτας, ἵνα κατὰ τὸ πρόχειρον ἔχωμεν, ἐν ὅσοις χρόνοις αὐτῶν [*](2. ἐστίν] -ν del. C2. κ] D, supra scr. A1, in ras B3. β C. 5. τῶν — 6, Θ Ε] D, om. A, mg. BC. 5. ἐστιν] ἔσται D. 6. ἄρα] D, ἐκ BC. 8. δέδεικται] corr. ex δέ- δεκται C2. τό] supra scr. C2. 10. τοῖς] om. D. 11. δέ] om. BC. 14. συγχρονίσει] BC, συνχρονίσει A, συνχρονήσει A3, συγχρονήσει mut. in συγχρονιεῖ λοιπαῖς] λειπούσαις corr. ex λιπούσαις D. 15 τοῦ] corr. ex τὸ C2. 16. συγχρονεῖν BC.) [*](19. δεκαμοιρίᾳ] corr. ex δεκατημορίᾳ D3. 22. πρός] corr. ex πρὸ| ς D3. 24. προχείροτον D, προχειρότατον D3.)

ἑκάστη τόν τε μεσημβρινόν, ὡς ἔφαμεν, πανταχῆ καὶ τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα διελεύσεται, τὴν ἀρχὴν ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ ἰσημερινῷ σημείῳ δεκαμοιρίας ποιησάμενοι.

ἡ μὲν οὖν πρώτη περιέχει χρόνους θ ι, ἡ δὲ δευτέρα χρόνους θ ιε, ἡ δὲ τρίτη χρόνους θ κε, ὥστε τοὺς ἐπὶ τὸ αὐτὸ τοῦ α΄ δωδεκατημορίου συνάγεσθαι χρόνους κζ ν· ἡ δὲ τετάρτη χρόνους θ μ, ἡ δὲ πέμπτη χρόνους θ νη, ἡ δὲ ἕκτη χρόνους ι ις, ὥστε καὶ τοῦ δευτέρου δωδεκατημορίου τοὺς κθ νδ χρόνους συνάγεσθαι· ἡ δὲ ἑβδόμη χρόνους ι λδ, ἡ δὲ ὀγδόη χρόνους ι μζ, ἡ δὲ ἐνάτη χρόνους ι νε, ὡς πάλιν συνάγεσθαι καὶ τοῦ μὲν τρίτου καὶ πρὸς τοῖς τροπικοῖς σημείοις δωδεκατημορίου τοὺς λβ ις χρόνους, ὅλου δὲ τοῦ τεταρτημορίου τοὺς ?? συμφώνως.

καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν, ὅτι καὶ ἡ τῶν λοιπῶν τεταρτημορίων τάξις ἡ αὐτὴ τυγχάνει οὖσα, πάντων καθʼ ἕκαστον τῶν αὐτῶν συμβαινόντων διὰ τὸ τὴν σφαῖραν ὀρθὴν ὑποκεῖσθαι, τουτέστιν τὸν ἰσημερινὸν ἀνέγκλιτον πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

[*](3. τὸ ἰσημερινὸν σημεῖον D. δεκαμοιρίας] post pr. -α- ras. 1. litt. D. 5. περιέχει] seq. ras. 1. litt. D. ι ἡ] ι΄|ἡ corr. ex |ιἡ D3. 9. χρόνους (alt.)] -αν- ins. D3. ις] corr. ex ιU+03F2 D. ὥστε] ὡς D. 12. ἐνάτη] θ C, ν supra add. D3. 14. δωδεκατημορίους, -ς eras., D. τούς] om D. 17. οὖσα] om D. 19. τουτέστιν] -ν del. C. ln fine: Κλαυδίου Πτολεμαίου μαθηματικῶν (-ὸν C) α΄ A B C, τέλος τοῦ πρώτου mg. sup. D3.)