ι. Πεντάγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καὶ αὐτὸς κατὰ τὴν ἐξάπλωσιν τὴν εἰς μονάδα σχηματογραφούμενος ἐπιπέδως εἰς πενταγωνικὸν σχῆμα πάντη ἰσόπλευρον, οἷον
α, ε, ιβ, κβ, λε, να, ο καὶ οἱ ἀνάλογοι. ἀλλʼ ἔστι τοῦ μὲν πρώτου κατʼ ἐνέργειαν, τουτέστι τοῦ ε ἑκάστη πλευρὰ δυάς, μονὰς μὲν γὰρ τοῦ δυνάμει πρωτίστου πενταγώνου ὑπάρχει τοῦ ἑνός, τοῦ δὲ τῶν ἐκκειμένων δευτέρου τοῦ ιβ πλευρὰ τριὰς καὶ τοῦ μετʼ αὐτὸν τοῦ κβ τετρὰς καὶ τοῦ ἑξῆς τοῦ λε πεντὰς καὶ ἑξὰς τοῦ ἐπὶ τούτῳ τοῦ να καὶ ἀεὶ οὕτως· καθόλου γὰρ τοσούτων μονάδων ἡ πλευρά ἐστιν, ὅσοιπερ εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν συνεσωρεύθησαν ἀριθμοὶ ἐκλεγέντες ἐκ τοῦ κατὰ φύσιν στοιχηδὸν ἐκκειμένου ἀριθ
[*](P) χύματος· παραπλησίως γὰρ καὶ ὁμοιοτρόπως ἐπισωρεύονται ἀλλήλοις εἰς πενταγώνου γένεσιν οἱ ἀπὸ μονάδος δύο διαλείποντες ἐφʼ ὁσονοῦν, τουτέστιν οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντες· ἡ μὲν μονὰς δυνάμει πρῶτος καὶ σχηματογραφεῖται οὕτως 1, ὁ δὲ ε δεύτερος ἐκ τοῦ α καὶ δ συντεθέντων σχηματογραφούμενος καὶ αὐτὸς οὕτως 2, ὁ δὲ ιβ ὁ τρίτος
[*](X. Io. PhiI rec. l, λε—λζ; rec. II, κϚ, κζ. — lambl. p. 85. — Theon. 26. — Boëth. II. 8.) [*](X. Περὶ πενταγώνου H -ων Γ — 2. μονάδας PC secundum unitatem Hoëth. II. 8. — σχηματογραφόμενος P — 6. ἀνάλογον CSH — 7. τουτέστι] ἥγουν H — ἑκάστου P, om. — 9. ἑνὸς] πρώτου S — 12 13. καθ. γὰρ καὶ ἐπὶ τούτων τοσ. H — 13. ἑκάστου SH — ἔσται H — 14. ἐκλέγοντος P — 15. στιχηδόν PC — 21. ἐκ τοῦ πρώτου καὶ τετάρτου G — 21. 22. σχηματογραφούμ. . . . οὕ- τως om. H — 22. ὁ δὲ ιβ ὁ om. H) 93
ἔκ τε τῶν δύο προτέρων καὶ τοῦ ζ ἐπισωρευθέντος αὐτοῖς, ἵνα καὶ αὐτὸς τριάδα πλευρὰν σχῇ, ὡς τριῶν συντεθέντων εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν, ὡς καὶ ὁ πρὸ αὐτοῦ ὁ ε δυάδα πλευρὰν εἶχεν ἐκ δύο συντεθείς, ἡ δὲ σχηματογραφία αὐτοῦ τοιαύτη ἐστίν· οἱ δὲ ἐπὶ τούτοις γενήσονται καθεξῆς προςσωρευομένων τῶν κατὰ τριάδος ὑπεροχὴν εὐτάκτων μετὰ τὴν ἑβδομάδα. ὄντων, οἷον τοῦ
ι, ιγ, ιϚ, ιθ, κβ, κε καὶ ἐπʼ ἄπειρον· ἔσονται γὰρ
κβ, λε, να, ο, Ϟβ, ριζ καὶ τοῦτο μέχρι παντός.
[*](2. ἔχῃ S — 5. ὁμάδι H —)[*](10. τούτῳ — 14. ὄντων] οὕ- τως G — οἷον τοῦ om. H — in co- dice G (Γ) haec adposita sunt: ὅρα, πῶς ἐκ τοῦ φυσικοῦ χύματος ἀποτε- λοῦνται οἱ πεντάγωνοι (u. mrg.)·)94
ια. Ἑξάγωνοι δὲ καὶ ἑπτάγωνοι καὶ οἱ ἑξῆς κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον προβιβασθήσονται ἀπὸ τοῦ φυσικοῦ χύματος τοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος αἰεὶ κατὰ μονάδος πρόςθεσιν τῶν ἀποστάσεων γινομένων· ὡς γὰρ ὁ μὲν τρίγωνος τοὺς μονάδι διαφέροντας, μηδὲν παραλείποντας εἰς τὴν σωρείαν δεχόμενος ἀπετελεῖτο, ὁ δὲ τετράγωνος τοὺς δυάδι μὲν διαφέροντας, ἕνα δὲ παραλείποντας, πεντάγωνος δὲ ἀκολούθως τοὺς τριάδι μὲν διαφέροντας, δύο δὲ παραλείποντας, οὓς καὶ ἀπεδείξαμεν ὑποδείγματα αὐτῶν τε καὶ τῶν ἀποτελουμένων ἐκθέμενοι ἐξ αὐτῶν, οὕτως καὶ ἑξάγωνοι γνώμονας ἕξουσι τοῦς τετράδι μὲν διαφέροντας, τρεῖς δὲ παραλείποντας, ἐξ ὧν συντεθέντων σωρηδὸν ἀποτελοῦνται, οἷον
α, ε, θ, ιγ, ιζ, κα καὶ ἐφεξῆς, ἵνα οἱ ἀποτελούμενοι ἑξάγωνοι ὦσιν
α, Ϛ, ιε, κη, με, ξϛ καὶ ἀεί, μέχρις ἄν τις θέλῃ. οἱ δὲ τούτοις ἀκόλουθοι ἑπτάγωνοι τοὺς μὲν γνώμονας ἔχουσι πεντάδι μὲν διαφέροντας, τετράδι δὲ διαλείποντας, οἷον
α, Ϛ, ια, ιϚ, κα, κϚ, λα, λϚ καὶ ἐφʼ ὁσονοῦν, αὐτοὶ δὲ οἱ συνιστάμενοί εἰσιν
[*](XI. lo. Phil. rec. l, λη—μα; rec. II. κη, κθ. — lambl. p. 85. 86. — Theon. 27. — Boëth. II. 9.) [*](XI. 1. καθεξῆς — 2. αὐτῶν G — 3. τοῦ ἀρ. . . . ἐκτεθ. om PC — στιχηδὸν H — 10. ὑπεδείξαμεν CH — 11. θέμενοι H — 14. οἷον] τοὺς add. P — 18. ἂν] οὗ HS — θέλοι P θέλει S — G hanc adscribit figuram (u. marg.) : — οἱ] εἰ G — 19. ἕξουσι C Io, Phil. rec. l, μ) 95
α, ζ, ιη, λδ, νε, πα, ριβ, ρμη καὶ τοῦτο μέχρι παντός. ὀκτάγωνοι δὲ κατὰ τὴν
[*](P) αὐτὴν τάξιν τοῖς τε γνώμοσιν ἑξάδι διαφέροντες προκόπτουσι καὶ τοῖς συστήμασιν ἀναλόγως. ἵνα δὲ ἐπὶ πάντων παρατηροῦντι τοῦτο καθολικὸν σύμφωνον ᾖ, ἑκάστου πολυγώνου τοὺς γνώμονας διαφέρειν ἀλλήλων δυάδι ἐλαττόνως, ἢ κατὰ τὴν ἐν τῷ ὀνόματι ποσότητα τῶν γωνιῶν, τουτέστι μονάδι μὲν τὸν τρίγωνον, δυάδι δὲ τὸν τετράγωνον, τριάδι δὲ τὸν πεντάγωνον, τετράδι δὲ τὸν ἑξάγωνον καὶ πεντάδι τὸν ἑπτάγωνον καὶ ἀεὶ κατὰ παραύξησιν οὕτως.
ιβ. Καὶ περὶ μὲν τῆς τῶν πολυγώνων φύσεως Xl τῶν ἐπιπέδων ἱκανὰ ταῦτα ὡς ἐν πρώτῃ εἰςαγωγῇ· ὅτι δὲ συμφωνοτάτη διδασκαλία ἡ περὶ αὐτῶν τῇ γραμμικῇ καὶ οὐκ ἀπᾴδουσα, δῆλον ἂν εἴη οὐ μόνον [*](XII. lo. Phil. rec. l, μβ—μδ; rec. lI, λ—λγ. — Iambl. p. 86—101. — Boëth. II. 10. 11.) [*](1. ριβ, ρμη om. H — 2. ὀκταγώνιοι — haec sche- mata adponit G: α β γ δ ε ϛ ζ η θ ι ια ιβ ιγ ιδ ιε ιϚ ιζ ιη ιθ κ κα 5. τὸ αὐτὸ SH) [*](XII. 15. συμφωνότατος H — παῤ αὐτῶν C)
96
ἐκ τῆς σχηματογραφίας τῆς καθʼ ἕκαστον, ἀλλὰ κἀκεῖθεν· πᾶν τετράγωνον σχῆμα διαγωνίως διαιρεθὲν εἰς δύο τρίγωνα λύεται καὶ πᾶς τετράγωνος ἀριθμὸς εἰς δύο τριγώνους συνεχεῖς λύεται καὶ ἐξ ἄρα δύο τριγώνων συνεχῶν συνέστηκεν· οἷον τρίγωνοι μέν εἰσιν
α, γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη, λϚ, με, νε καὶ οἱ ἑξῆς, τετράγωνοι δὲ
α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ, μθ, ξδ, πα, ρ δύο δή, οὓς ἂν θέλῃς, τριγώνους συνεχεῖς ἀλλήλοις συνθεὶς πάντως τετράγωνον ποιήσεις καὶ ὁντινοῦν τετράγωνον ἄρα διαλύσας δυνήσῃ δύο ἀπʼ αὐτῶν τριγώνους ποιῆσαι· καὶ πάλιν παντὶ τετραγώνῳ σχήματι τρίγωνον προςζευχθὲν ὁθενοῦν πεντάγωνον ποιεῖ, οἷον τῷ δ τετραγώνῳ ὁ α τρίγωνος προςζευχθεὶς τὸν ε πεντάγωνον ποιεῖ καὶ τῷ θ τῷ ἑξῆς ὁ ἑξῆς προςτεθείς, δηλονότι ὁ γ, πεντάγωνον τὸν ιβ ποιεῖ, τῷ δὲ ιϛ ὄντι ἀκολούθῳ ὁ Ϛ ἀκόλουθος ἐπισυντεθεὶς τὸν κβ ἀκόλουθον ἀποδίδωσιν καὶ τῷ κε
[*](3. Ηocce sclema codicis G: τετράγωνον εἰς δύο δια- λυόμενον τρί- γωνα. — 5. συνέστη H — 7. με, νε om. H — 9. πα, ρ om. — 10. ἐθέλοις C — 12. αὐτοῦ S — 14. τρίγωνον σχῆμα συζευχθέν — πρωτάγωνον G1 — 15. δ] τετάρτῳ G — προςζευχθεὶς] προςτεθεὶς S συντεθεὶς — 16. ε om. — 16 17. ὁ ἑξῆς om. P τῷ ἑξ. τῶ θ ὁ ἑξ. τρίτος προςτε θεὶς τὸν ἑξῆς πενταγ. ιβ S τῷ ἑξῆς τρίγωνος ὁ γ τὸν ἐξῆς τὸν ιβ πεντάγ. H — 18. ἀκολούθως H) 97
ὁ ι τὸν λε καὶ ἀεὶ οὕτως. κατὰ δὲ τὰ αὐτὰ κἂν τοῖς πενταγώνοις οἱ τρίγωνοι προςτιθοῖντο τῇ αὐτῇ τάξει, τοὺς εὐτάκτους γεννήσουσιν ἑξαγώνους καὶ πάλιν ἐκείνοις οἱ αὐτοὶ προςπλεκόμενοι τοὺς ἐν τάξει ἑπταγώνους ποιήσουσι καὶ μετʼ ἐκείνους τοὺς ὀκταγώνους καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον. πρὸς δὲ ὑπόμνησιν ἐκκείσθωσαν ἡμῖν πολυγώνων στίχοι παραλλήλως γεγραμμένοι οἵδε, ὁ πρῶτος τρίγωνων, ὁ μετʼ αὐτὸν τετραγώνων, μετὰ δὲ ἀμφοτέρους πενταγώνων, εἶτα ἑξαγώνων, εἶτα ἑπταγώνων, εἶτα, εἰ ἐθέλοι τις, καὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων·
μῆκος καὶ πλάτος
τρίγωνοι α γ Ϛ ι ιε κα κη λϚ με νε
τετράγωνο α δ θ ιϚ κε λϚ μθ ξδ πα ρ
πεντάγωνοι α ε ιβ κβ λε να ο Ϟβ ριζ ρμε
ἑξάγωνοι α Ϛ ιε κ με ξϚ Ϟα ρκ ρνγ ρϞ
ἑπτάγωνοι α ζ ιη λδ νε πα ριβ ρμη ρπθ σλε
βάθος
ἔξεστι δὲ καὶ τῶν ἐφεξῆς πολυγώνων τὴν ἔκθεσιν ἐν [*](P) παραλλήλοις οὕτω στίχοις ποιήσασθαι. καθολικῶς γὰρ εὑρήσεις τοὺς μὲν τετραγώνους τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς σύστημα ὄντας ὁμοταγῶν τριγώνων καὶ ἔτι τῶν ὑπερκειμένων ἐκείνοις ὁμογενῶν, οἷον [*](1. τὰ αὐτὰ] ταῦτα — 2. εἰ τρίγων προςτεθοῖντο S εἰ τρίγ, προςτίθενται H — 3, 4. καὶ πάλιν μετ᾿ H — 6. ὀκταγών. om. H — τοῦτο] οὕτως — 7 ἐκκείσθω S — παράλληλοι H — 8. οἵδε om. CH — 8. 9. ὁ μετʼ αὐτὸν] ὁ δεύτερος — 9. ἀμφότερα G — 10. εἶτα ἑξῆς ἑξαγ H — 11. θέλει SH — 13—17. schema om. PH — 18 ἔξεστι . . . πολυγ. om. H ἔξεστι γὰρ καὶ τὴν τούτων ἔκθεσιν C — ἐν om. — 19. οὕτω om. C — στίχοις] ὥςπερ τῶν πρὸ αὐτῶν add. S — ποιεῖσθαι H — 20. 21. αὐτοὺς] κειμέ- νων add. S — 22. ὑπερκειμ.] ὑπὲρ ἐκείνους κειμένων H)
98
τὸν δ τοῦ γ καὶ α,τὸν θ τοῦ Ϛ καὶ γ,τὸν ιϚ τοῦ ι καὶ Ϛ,τὸν κε τοῦ ιε καὶ ι,τὸν δὲ λϚ τοῦ κα καὶ ιε καὶ μέχρις ἀεὶ οὕτως· τοὺς δὲ πενταγώνους τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς ὁμοταγῶν τετραγώνων σύστημα ὄντας καὶ προςέτι τῶν πρωτογενῶν τριγώνων, ὅσοι εἰσὶ μονάδι ἔλαττον ὁμοταγεῖς, οἷον
ὁ μὲν ε τοῦ δ καὶ α,ὁ δὲ ιβ τοῦ θ καὶ γ,ὁ δὲ κβ τοῦ ιϛ καὶ ϛ,ὁ δὲ λε τοῦ κε καὶ ι καὶ ἀεὶ οὕτως. πάλιν δὲ οἱ ἑξάγωνοι τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς ὁμοταγῶν πενταγώνων καὶ τῶν προεκτεθέντων τριγώνων ὁμοίως, οἷον
ὁ Ϛ τοῦ ε καὶ α,ὁ ιε τοῦ ιβ καὶ γ,ὁ δὲ κη τοῦ κῆ καὶ Ϛ,ὁ δὲ με τοῦ λε καὶ ι καὶ μέχρις οὗ βούλει. τῶν δὲ ἑπταγώνων ὁ αὐτὸς τρόπος·
ὁ μὲν γὰρ ζ σύστημα τοῦ Ϛ καὶ α,ὁ δὲ ιη τοῦ ιε καὶ γ,ὁ δὲ λδ τοῦ κη καὶ Ϛ καὶ οἱ ἑξῆς ἀκολούθως, ἵνα ἕκαστος πολύγωνος σύστημα τοῦ τε ὑπὲρ αὐτὸν ὁμοταγοῦς μονάδι ἐλάττονος
[*](1. α] τοῦ α codd. — 3. Ϛ] τοῦ Ϛ codd. — 5. τὸν δὲ λϚ . . . ιε om. — 6. μέχρις om. H — κἂν τοῖς πενταγώ- νοις εὕροις — 8. πρωτογώνων S — 9. ἐλάττονες SH — 14. ἀεὶ οὕτως] μέχρις οὗ βούλει P — 15. πενταγώνων om. SH — προεκθέντων P — 16. οἷον om SH — 27 αὐτῶ G) 99
ὁμογωνίου καὶ τοῦ ἀνωτάτου τριγώνου τοῦ μονάδι ἐλάττονος ὁμοταγοῦς παῤ ἓν κειμένου. εἰκότως ἄρα στοιχεῖον πολυγώνων τὸ τρίγωνον καὶ ἐν γραμμαῖς καὶ ἐν ἀριθμοῖς· καὶ γὰρ καὶ κατὰ βάθος καὶ κατὰ πλάτος ἐν τῷ διαγράμματι εὑρίσκονται οἱ συνεχεῖς αἰεὶ ἀριθμοὶ κατὰ τοὺς στίχους αὐτούς ἔχοντες διαφορὰς τοὺς εὐτάκτους τριγώνους.